Mostre que, para todo n \in \mathbb{N},
10 \mid 11^{n}-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n \in \mathbb{N},
10 \mid 11^{n}-1.
O conteúdo principal é aritmética modular, em particular o uso de congruências e a propriedade de potências em módulos.

Passo 2

Começamos observando que
11 \equiv 1 \pmod{10}.
Pela propriedade de potências de congruências, se a\equiv b\pmod m então a^n\equiv b^n\pmod m. Aplicando isso, obtemos
11^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{10}.

Passo 3

Da congruência anterior segue que
11^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{10},
ou seja, 10 divide 11^n - 1.

Resposta

Logo, para todo n \in \mathbb{N}, 10 \mid 11^{n}-1.

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