Usando frações parciais onde for necessário, calcule x(t) para as seguintes expressões:
X(s)=s(s+1)(s+1)(s+3)(s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace de
X(s)=s(s+1)(s+1)(s+3)(s+4)
Isso é conteúdo de Transformada de Laplace (inversa) e a gente vai usar Decomposição em Frações Parciais + tabela de pares . Não assume que você já manja, então vou explicar cada coisinha.

Passo 2

Primeiro passo na prática: simplificar cancelando aquilo que aparece em cima e embaixo. A gente vê um fator X(s)=s(s+1)(s+1)(s+3)(s+4) =s(s+3)(s+4) no numerador e no denominador, então

Passo 3

Agora decompondo em frações parciais: a gente escreve
s(s+3)(s+4)=As+3+Bs+4
Multiplica tudo por s = A(s+4)+B(s+3) :
s = (A+B),s + (4A+3B)
Isso dá
A+B=1, 4A+3B=0
Comparando coeficientes de 4(1-B)+3B=0;Rightarrow;4-4B+3B=0;Rightarrow;-B+4=0;Rightarrow;B=4,;A=1-4=-3 e termo constante:
X(s)=-3s+3+4s+4
Resolvendo: de temos
Então

Passo 4

Resta aplicar a transformada inversa termo a termo. Lembra da tabela:
L^-1!l1s+ar=e^-a t, t>=0
Logo
x(t) = -3,e^-3t + 4,e^-4t

Resposta

boxedx(t) = -3,e^-3t + 4,e^-4t, t>=0

Exercícios relacionados