Para os itens abaixo: i) resolva as equações diferenciais usando a transformada de Laplace; ii) Verifique na função
se as condições iniciais foram satisfeitas; iii) Verifique se o teorema do valor final é aplicável. Se sim, aplique-o.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem bem “padrão”:
com condições iniciais
O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver EDOs, verificar as condições iniciais na solução e checar se o Teorema do Valor Final vale. Vamos precisar de:
- A propriedade
. - Inversão de Laplace de funções simples.
- Critério de aplicabilidade do Teorema do Valor Final (polos de
).
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo de
. Chamando
, temos:
Substituindo
e
:
Passo 3
Agora isolamos
:
Isso já é uma forma prontinha para inverter pela tabela básica:
.
Passo 4
Reconhecendo que
, vemos que
Passo 5
Vamos checar as condições iniciais:
-
, ok. -
, então , ok.
Passo 6
Teorema do Valor Final diz
mas só é válidose todos os polos de
tiverem parte real negativa (exceto possivelmente um polo simples em zero). Aqui
tem polos em
, que não têm parte real negativa. Além disso,
é oscilatória e não converge a nenhum valor. Portanto o teorema não é aplicável.
Resposta
y(t) =
. As condições iniciais são satisfeitas e o Teorema do Valor Final não se aplica.