Para os itens abaixo: i) resolva as equações diferenciais usando a transformada de Laplace; ii) Verifique na função y(t) se as condições iniciais foram satisfeitas; iii) Verifique se o teorema do valor final é aplicável. Se sim, aplique-o.
ddoty+9 y=0, y(0)=0, doty(0)=2

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem bem “padrão”:
ddot y + 9,y = 0
com condições iniciais
y(0)=0, dot y(0)=2
O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver EDOs, verificar as condições iniciais na solução e checar se o Teorema do Valor Final vale. Vamos precisar de:
  1. A propriedade .
  2. Inversão de Laplace de funções simples.
  3. Critério de aplicabilidade do Teorema do Valor Final (polos de ).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo de Lddot y + 9, Ly = 0 ;Longrightarrow; l(s^2Y(s) - s,y(0) - dot y(0)r) + 9,Y(s) = 0 . Chamando s^2Y(s) - 2 + 9Y(s) = 0 ;;Longrightarrow;; Y(s),(s^2+9) = 2 , temos:
Substituindo e :

Passo 3

Agora isolamos Y(s) = 2s^2 + 9 :
Isso já é uma forma prontinha para inverter pela tabela básica: .

Passo 4

Reconhecendo que y(t) = L^-1Y(s) = 23,sin(3t) , vemos que

Passo 5

Vamos checar as condições iniciais:
  • , ok.
  • , então , ok.

Passo 6

Teorema do Valor Final diz
limttoinftyy(t) = limsto0 s,Y(s),
mas só é válidose todos os polos de s,Y(s) = 2ss^2+9 tiverem parte real negativa (exceto possivelmente um polo simples em zero). Aqui
tem polos em , que não têm parte real negativa. Além disso, é oscilatória e não converge a nenhum valor. Portanto o teorema não é aplicável.

Resposta

y(t) = . As condições iniciais são satisfeitas e o Teorema do Valor Final não se aplica.

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