Mostre que très pontos
Q
são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade:
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos cujas coordenadas são:
-
, -
, -
.
Pede-se para mostrar que esses três pontos são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam uma certa igualdade. Observação importante: a igualdade escrita no enunciado parece conter um erro tipográfico. A forma correta (padrão) da condição de colinearidade por produto em cruz é
Vou demonstrar essa igualdade — isto é, vou provar que os três pontos são colineares se, e somente se, a igualdade acima vale. Não começo a resolver ainda; só listei o que o problema dá e o que vou mostrar.
Passo 2
Explicar o que é “slope” (inclinação) e como usá-lo de forma elementar.
Definição prática de inclinação da reta que passa por dois pontos
e
: sempre que
, a inclinação (ou coeficiente angular) é
Interpretação simples: é “quanto a ordenada varia por unidade de abscissa”. Se duas retas têm a mesma inclinação, são paralelas; se três pontos estão em uma mesma reta não vertical, então os pares formados por esses pontos têm a mesma inclinação.
Temos de cuidar do caso vertical (quando uma diferença de abscissa é zero): aí a inclinação é “infinita” e tratamos separadamente. Também considere que dois pontos coincidentes (mesmas coordenadas) tornam a verificação trivial — pontos coincidentes estão sempre na mesma reta (qualquer reta que passe por esse ponto).
Passo 3
Provar a implicação direta: se
são colineares então a igualdade ocorre.
Caso 1 — reta não vertical (pelo menos dois abscissas diferentes): suponha que a reta que passa por
e
não seja vertical, isto é,
. Se
são colineares, então a inclinação entre
e
é igual à inclinação entre
e
. Logo
Agora multiplicamos em cruz (operação elementar de frações) — isto é, multiplicamos ambos os lados por
— e obtemos a igualdade desejada:
Caso 2 — reta vertical: se a reta que passa por
e
é vertical então
. Como
são colineares nessa reta vertical, necessariamente
também. Substituindo
e
na igualdade proposta temos
portanto as duas parcelas são iguais (ambas zero), e a igualdade também vale.
Assim, em ambos os casos (reta não vertical ou vertical) colinearidade implica a igualdade.
Passo 4
Provar a implicação recíproca: se a igualdade vale então
são colineares.
Suponha que
Queremos mostrar que os três pontos estão em uma mesma reta.
Caso A —
e
.
Então podemos dividir ambos os lados da igualdade por (número não nulo) e obtemos
Então podemos dividir ambos os lados da igualdade por
Isto diz exatamente que a inclinação de
é igual à inclinação de
. Como duas retas (neste caso as retas determinadas por
e
) com a mesma inclinação e que passam por
coincidem, concluímos que
e
pertencem à mesma reta que passa por
, ou seja,
são colineares.
Caso B — algum dos denominadores é zero, por exemplo
.
Se , a igualdade dada reduz-se a
Se
portanto
. Há duas subpossibilidades:
- Se
então coincide com (mesmo ponto) e então são trivialmente colineares (qualquer reta que passe por também passa por ). - Se
então, para que o produto seja zero, deve ser , ou seja . Assim e os três pontos têm a mesma abscissa — estão todos numa mesma reta vertical, logo são colineares.
O caso simétrico
é tratado da mesma forma. Portanto, em todas as possibilidades, da igualdade decorre que
são colineares.
Passo 5
Resumindo o raciocínio (e mantendo o clima motivador): mostramos as duas implicações. Quando a reta não é vertical, a igualdade é exatamente a igualdade de inclinações reescrita por multiplicação em cruz; quando a reta é vertical tratamos separadamente e a igualdade permanece verdadeira (todas as parcelas envolvidas ficam coerentes). Assim a condição é necessária e suficiente.
Se você ficar com dúvida na prova, lembre: verificar igualdade de inclinações (com cuidado para denominadores zero) ou usar a área do triângulo (determinante) são caminhos muito usados. Força aí — você consegue!
Resposta
Os pontos
são colineares se, e somente se,