Mostre que très pontos A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) Q C\left(x_{3}, y_{3}\right) são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade:
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos cujas coordenadas são:
  • A\left(x_{1}, y_{1}\right),
  • B\left(x_{2}, y_{2}\right),
  • C\left(x_{3}, y_{3}\right).
Pede-se para mostrar que esses três pontos são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam uma certa igualdade. Observação importante: a igualdade escrita no enunciado parece conter um erro tipográfico. A forma correta (padrão) da condição de colinearidade por produto em cruz é
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)=\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right).
Vou demonstrar essa igualdade — isto é, vou provar que os três pontos são colineares se, e somente se, a igualdade acima vale. Não começo a resolver ainda; só listei o que o problema dá e o que vou mostrar.

Passo 2

Explicar o que é “slope” (inclinação) e como usá-lo de forma elementar.
Definição prática de inclinação da reta que passa por dois pontos P_1\left(x_a,y_a\right) e P_2\left(x_b,y_b\right): sempre que x_b\neq x_a, a inclinação (ou coeficiente angular) é
m_{P_1P_2}=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}.
Interpretação simples: é “quanto a ordenada varia por unidade de abscissa”. Se duas retas têm a mesma inclinação, são paralelas; se três pontos estão em uma mesma reta não vertical, então os pares formados por esses pontos têm a mesma inclinação.
Temos de cuidar do caso vertical (quando uma diferença de abscissa é zero): aí a inclinação é “infinita” e tratamos separadamente. Também considere que dois pontos coincidentes (mesmas coordenadas) tornam a verificação trivial — pontos coincidentes estão sempre na mesma reta (qualquer reta que passe por esse ponto).

Passo 3

Provar a implicação direta: se A,B,C são colineares então a igualdade ocorre.
Caso 1 — reta não vertical (pelo menos dois abscissas diferentes): suponha que a reta que passa por A e B não seja vertical, isto é, x_{2}\neq x_{1}. Se A,B,C são colineares, então a inclinação entre A e B é igual à inclinação entre A e C. Logo
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}.
Agora multiplicamos em cruz (operação elementar de frações) — isto é, multiplicamos ambos os lados por \left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right) — e obtemos a igualdade desejada:
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)=\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right).
Caso 2 — reta vertical: se a reta que passa por A e B é vertical então x_{2}=x_{1}. Como A,B,C são colineares nessa reta vertical, necessariamente x_{3}=x_{1} também. Substituindo x_{2}=x_{1} e x_{3}=x_{1} na igualdade proposta temos
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=0,
portanto as duas parcelas são iguais (ambas zero), e a igualdade também vale.
Assim, em ambos os casos (reta não vertical ou vertical) colinearidade implica a igualdade.

Passo 4

Provar a implicação recíproca: se a igualdade vale então A,B,C são colineares.
Suponha que
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)=\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right).
Queremos mostrar que os três pontos estão em uma mesma reta.
Caso A — x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{1}.
Então podemos dividir ambos os lados da igualdade por \left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right) (número não nulo) e obtemos
\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.
Isto diz exatamente que a inclinação de AC é igual à inclinação de AB. Como duas retas (neste caso as retas determinadas por AB e AC) com a mesma inclinação e que passam por A coincidem, concluímos que B e C pertencem à mesma reta que passa por A, ou seja, A,B,C são colineares.
Caso B — algum dos denominadores é zero, por exemplo x_{2}=x_{1}.
Se x_{2}=x_{1}, a igualdade dada reduz-se a
0\cdot\left(y_{3}-y_{1}\right)=\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right),
portanto \left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=0. Há duas subpossibilidades:
  • Se y_{2}=y_{1} então B coincide com A (mesmo ponto) e então A,B,C são trivialmente colineares (qualquer reta que passe por A também passa por B).
  • Se y_{2}\neq y_{1} então, para que o produto seja zero, deve ser x_{3}-x_{1}=0, ou seja x_{3}=x_{1}. Assim x_{1}=x_{2}=x_{3} e os três pontos têm a mesma abscissa — estão todos numa mesma reta vertical, logo são colineares.
O caso simétrico x_{3}=x_{1} é tratado da mesma forma. Portanto, em todas as possibilidades, da igualdade decorre que A,B,C são colineares.

Passo 5

Resumindo o raciocínio (e mantendo o clima motivador): mostramos as duas implicações. Quando a reta não é vertical, a igualdade é exatamente a igualdade de inclinações reescrita por multiplicação em cruz; quando a reta é vertical tratamos separadamente e a igualdade permanece verdadeira (todas as parcelas envolvidas ficam coerentes). Assim a condição é necessária e suficiente.
Se você ficar com dúvida na prova, lembre: verificar igualdade de inclinações (com cuidado para denominadores zero) ou usar a área do triângulo (determinante) são caminhos muito usados. Força aí — você consegue!

Resposta

Os pontos A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) são colineares se, e somente se,
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)=\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right).

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