03)Considerando a transformação linear T : \mathbb{R}_{2} \rightarrow \mathbb{R}_{3}, onde , A e B são bases do \mathbb{R}_{2} e \mathbb{R}_{3}, respectivamente. A=\{(1,0),(0,1)\} ; B=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\}
A matriz dessa transformação é dada por [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ -2 & 3\end{array}\right];
Ache a transformação \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})= ?
Qual é a imagem do vetor (2,-3) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou colocar exatamente os dados que recebemos):
  • Transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.
  • Base A de \mathbb{R}^2: A=\{(1,0),(0,1)\}.
  • Base B de \mathbb{R}^3: B=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\}. Vou chamar os vetores de B de b_1=(1,0,1),\qquad b_2=(-2,0,1),\qquad b_3=(0,1,0).
  • A matriz da transformação relativa a essas bases é [T]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
  1. A fórmula explícita de \displaystyle T(x,y)=? (isto é, a imagem em \mathbb{R}^3 escrita em coordenadas usuais).
  2. A imagem do vetor (2,-3), ou seja \displaystyle T(2,-3)=?.]

Passo 2

Entendendo como usar a matriz dada: quando se fornece [T]_{B}^{A}, isso significa que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2, com coordenadas em relação à base A dadas por [v]_A, vale
[T]_{B}^{A}\,[v]_A = [T(v)]_B,
onde [T(v)]_B são as coordenadas de T(v) na base B.
Como a base A é \{(1,0),(0,1)\}, que é a base canônica, as coordenadas de (x,y) em relação a A são simplesmente
[(x,y)]_A = \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular as coordenadas de T(x,y) na base B multiplicando a matriz pela coordenada \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}:
[T]_{B}^{A}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + (-1)\cdot y\\[6pt] 0\cdot x + 1\cdot y\\[6pt] -2\cdot x + 3\cdot y \end{pmatrix}.
Portanto as coordenadas de T(x,y) na base B são
[T(x,y)]_B = \begin{pmatrix}x-y\\[4pt] y\\[4pt] -2x+3y\end{pmatrix}.
Vou nomear essas coordenadas por
c_1 = x-y,\qquad c_2 = y,\qquad c_3 = -2x+3y.]

Passo 4

Reconstruir o vetor T(x,y) em coordenadas usuais (padrão de \mathbb{R}^3) a partir das coordenadas c_1,c_2,c_3 na base B. Pela definição,
T(x,y) = c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3.
Substituindo b_1,b_2,b_3 e c_i:
T(x,y) = (x-y)\,(1,0,1) + y\,(-2,0,1) + (-2x+3y)\,(0,1,0).
Agora somar componente a componente. Calculando cada componente:
  • Primeira componente: (x-y)\cdot 1 + y\cdot(-2) + (-2x+3y)\cdot 0 = x-y -2y = x-3y.
  • Segunda componente: (x-y)\cdot 0 + y\cdot 0 + (-2x+3y)\cdot 1 = -2x+3y.
  • Terceira componente: (x-y)\cdot 1 + y\cdot 1 + (-2x+3y)\cdot 0 = x-y + y = x.
Logo, em coordenadas usuais,
T(x,y) = (\,x-3y,\; -2x+3y,\; x\,).

Passo 5

Calcular a imagem do vetor (2,-3) aplicando a fórmula encontrada. Substituindo x=2 e y=-3:
  • Primeira componente: x-3y = 2 - 3\cdot(-3) = 2 + 9 = 11.
  • Segunda componente: -2x+3y = -2\cdot 2 + 3\cdot(-3) = -4 -9 = -13.
  • Terceira componente: x = 2.
Portanto
T(2,-3) = (11,\,-13,\,2).

Resposta

T(x,y) = (x-3y,\; -2x+3y,\; x)
T(2,-3) = (11,\,-13,\,2)

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