03)Considerando a transformação linear T : \mathbb{R}_{2} \rightarrow \mathbb{R}_{3}, onde , A e B são bases do \mathbb{R}_{2} e \mathbb{R}_{3}, respectivamente. A=\{(1,0),(0,1)\} ; B=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\}
A matriz dessa transformação é dada por [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ -2 & 3\end{array}\right];
Ache a transformação \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})= ?
Qual é a imagem do vetor (2,-3) ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou colocar exatamente os dados que recebemos):
Transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.
Base A de \mathbb{R}^2: A=\{(1,0),(0,1)\}.
Base B de \mathbb{R}^3: B=\{(1,0,1),(-2,0,1),(0,1,0)\}. Vou chamar os vetores de B deb_1=(1,0,1),\qquad b_2=(-2,0,1),\qquad b_3=(0,1,0).
A matriz da transformação relativa a essas bases é[T]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
A fórmula explícita de \displaystyle T(x,y)=? (isto é, a imagem em \mathbb{R}^3 escrita em coordenadas usuais).
A imagem do vetor (2,-3), ou seja \displaystyle T(2,-3)=?.]
Passo 2
Entendendo como usar a matriz dada: quando se fornece [T]_{B}^{A}, isso significa que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2, com coordenadas em relação à base A dadas por [v]_A, vale
[T]_{B}^{A}\,[v]_A = [T(v)]_B,
onde [T(v)]_B são as coordenadas de T(v) na base B.
Como a base A é \{(1,0),(0,1)\}, que é a base canônica, as coordenadas de (x,y) em relação a A são simplesmente