(valor: 2,5) Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da curva,
em torno do eixo
. Identifique e esboce a superfície
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos dá a curva
definida pelas equações
- As perguntas são: (1) determinar uma equação da superfície obtida ao girar a curva
ao redor do eixo ; (2) identificar qual é essa superfície e esboçá‑la (descrever como desenhar).
Passo 2
Primeiro simplifico a equação da curva
para entendê‑la melhor.
- A equação
dá
- Multiplicando ambos os lados por
vem
ou seja
- Juntando com
, a curva é o conjunto de pontos com
Comentário didático: isto é uma parábola no plano
(o plano
), com vértice na origem e aberta no sentido positivo de
.
Passo 3
Entendendo a rotação ao redor do eixo
e a ideia para eliminar a variável do ponto gerador.
- Geometricamente, ao rodar o ponto
em torno do eixo ele descreve uma circunferência de centro no eixo e coordenada fixa. O raio dessa circunferência é a distância do ponto ao eixo , que para um ponto no plano perpendicular a é
- No caso do ponto gerador original temos
e , então o raio dessa circunferência é . - Como na curva original
, temos . Ao rodar, todos os pontos da superfície gerada satisfazem
- Portanto, eliminando
, a relação entre para a superfície é
Passo 4
Coloco a equação em forma explícita e explico seu domínio.
- Isolando
obtemos a forma mais comum:
- Observação sobre domínio: como
, temos . Logo a superfície está definida para e tem vértice na origem .
Passo 5
Identificação da superfície e propriedades úteis para esboço.
- A equação
é a equação de um paraboloide circular (paraboloide de revolução) com eixo coincidente com o eixo . É um “paraboloide” que abre no sentido positivo de . - Traços importantes:
- Intersecção com o plano
: substituindo volta a curva geradora . - Intersecção com o plano
: substituindo obtém (outra parábola no plano refletida). - Para uma altura fixa
a intersecção é uma circunferência de raio :
- Intersecção com o plano
- Parâmetros úteis (parametrização): tomando
e ,
pois então
.
Passo 6
Como esboçar — passo a passo prático (dicas para a prova).
- Desenhe um sistema de eixos com
vertical. Marque o vértice na origem. - Desenhe a parábola geradora no plano
(plano ): — um “U” com foco em . - Para alguns valores de
(por exemplo e ) desenhe círculos de raio : para raio , para raio . Essas circunferências estão em planos horizontais e mostram a abertura do “bowl”. - Ligue suavemente os círculos para formar a superfície paraboloide. Está feito — imagine um “espelho parabólico” com eixo no
.
Resposta
Paraboloide circular de revolução com eixo no