(valor: 2,5) Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da curva, G:\left\{\begin{array}{l}\frac{y}{4}-\frac{z^{2}}{16}=0 \\\ x=0\end{array}\right. em torno do eixo O Y. Identifique e esboce a superfície

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá a curva G definida pelas equações
\frac{y}{4}-\frac{z^{2}}{16}=0 \qquad\text{e}\qquad x=0.
  • As perguntas são: (1) determinar uma equação da superfície obtida ao girar a curva G ao redor do eixo OY; (2) identificar qual é essa superfície e esboçá‑la (descrever como desenhar).

Passo 2

Primeiro simplifico a equação da curva G para entendê‑la melhor.
  • A equação \dfrac{y}{4}-\dfrac{z^{2}}{16}=0
\frac{y}{4}=\frac{z^{2}}{16}.
  • Multiplicando ambos os lados por 16 vem
4y=z^{2},
ou seja
y=\frac{z^{2}}{4}.
  • Juntando com x=0, a curva G é o conjunto de pontos (0,y,z) com
y=\frac{z^{2}}{4}.
Comentário didático: isto é uma parábola no plano x=0 (o plano yz), com vértice na origem e aberta no sentido positivo de y.

Passo 3

Entendendo a rotação ao redor do eixo OY e a ideia para eliminar a variável do ponto gerador.
  • Geometricamente, ao rodar o ponto (0,y,z_{0}) em torno do eixo OY ele descreve uma circunferência de centro no eixo OY e coordenada y fixa. O raio dessa circunferência é a distância do ponto ao eixo OY, que para um ponto (x,z) no plano perpendicular a OY é
r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
  • No caso do ponto gerador original temos x=0 e z=z_{0}, então o raio dessa circunferência é |z_{0}|.
  • Como na curva original y=\dfrac{z_{0}^{2}}{4}, temos z_{0}^{2}=4y. Ao rodar, todos os pontos da superfície gerada satisfazem
x^{2}+z^{2}=z_{0}^{2}=4y.
  • Portanto, eliminando z_{0}, a relação entre x,y,z para a superfície é
x^{2}+z^{2}=4y.

Passo 4

Coloco a equação em forma explícita e explico seu domínio.
  • Isolando y obtemos a forma mais comum:
y=\frac{x^{2}+z^{2}}{4}.
  • Observação sobre domínio: como x^{2}+z^{2}\ge0, temos y\ge0. Logo a superfície está definida para y\ge0 e tem vértice na origem (0,0,0).

Passo 5

Identificação da superfície e propriedades úteis para esboço.
  • A equação x^{2}+z^{2}=4y é a equação de um paraboloide circular (paraboloide de revolução) com eixo coincidente com o eixo OY. É um “paraboloide” que abre no sentido positivo de y.
  • Traços importantes:
    • Intersecção com o plano x=0: substituindo x=0 volta a curva geradora y=\dfrac{z^{2}}{4}.
    • Intersecção com o plano z=0: substituindo z=0 obtém y=\dfrac{x^{2}}{4} (outra parábola no plano xz refletida).
    • Para uma altura fixa y=y_{0}\ge0 a intersecção é uma circunferência de raio \sqrt{4y_{0}}=2\sqrt{y_{0}}:
    x^{2}+z^{2}=4y_{0}\quad\Rightarrow\quad \text{raio}=2\sqrt{y_{0}}.
  • Parâmetros úteis (parametrização): tomando u\ge0 e \theta\in[0,2\pi),
x=2u\cos\theta,\qquad z=2u\sin\theta,\qquad y=u^{2},
pois então x^{2}+z^{2}=4u^{2}=4y.

Passo 6

Como esboçar — passo a passo prático (dicas para a prova).
  • Desenhe um sistema de eixos com y vertical. Marque o vértice na origem.
  • Desenhe a parábola geradora no plano x=0 (plano yz): y=\dfrac{z^{2}}{4} — um “U” com foco em y.
  • Para alguns valores de y (por exemplo y=1 e y=4) desenhe círculos de raio 2\sqrt{y}: para y=1 raio 2, para y=4 raio 4. Essas circunferências estão em planos horizontais e mostram a abertura do “bowl”.
  • Ligue suavemente os círculos para formar a superfície paraboloide. Está feito — imagine um “espelho parabólico” com eixo no y.

Resposta

y=\dfrac{x^{2}+z^{2}}{4}
Paraboloide circular de revolução com eixo no OY, vértice em (0,0,0) e que abre no sentido positivo de y.

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