Determine todos os números primos que podem ser escritos da forma k^{2}-4 com k um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números primos que podem ser escritos da forma \,k^{2}-4\, com k um número inteiro positivo.
Informações dadas e o que procuro:
  • k é um inteiro positivo ( k\in\mathbb{Z}_{>0}).
  • Quero todos os números primos p tais que exista k>0 com p=k^{2}-4.
    Vou testar possibilidades e usar fatores para ver quando \,k^{2}-4\, pode ser primo.

Passo 2

Fatoração útil: lembrar a identidade diferença de quadrados. Para quaisquer números a e b vale
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=k e b=2 obtemos a fatoração da expressão do enunciado:
k^{2}-4=(k-2)(k+2).
Explicando devagar: isso significa que \,k^{2}-4\, é sempre um produto de dois inteiros, um sendo k-2 e o outro k+2.

Passo 3

Propriedade básica de primos (lembrando devagar): um número primo positivo p tem exatamente dois divisores positivos, 1 e p. Portanto, se um número positivo é expresso como produto de dois inteiros positivos, para que esse produto seja primo é necessário que um dos fatores seja 1 e o outro seja p. Em símbolos: se p=(\text{fator}_1)(\text{fator}_2) com fatores inteiros positivos, então ou \text{fator}_1=1 e \text{fator}_2=p ou vice-versa.
Aplicando isso a \,k^{2}-4=(k-2)(k+2): para que \,k^{2}-4\, seja um primo positivo, pelo menos um dos fatores k-2 ou k+2 deve ser igual a 1 (porque ambos são inteiros e, para k>2, positivos).

Passo 4

Analisar os casos pequenos de k (já que k é positivo, k=1,2,3,\dots):
  • k=1: \,k^{2}-4=1-4=-3. Isso é negativo; quando falamos em números primos normalmente consideramos primos positivos, então -3 não entra na lista procurada.
  • k=2: \,k^{2}-4=4-4=0. Zero não é primo.
  • k=3: \,k^{2}-4=9-4=5. Aqui obtemos 5, que é primo. Note que neste caso k-2=1 e k+2=5, compatível com a observação do passo anterior.

Passo 5

Agora mostrar que para k\ge 4 a expressão não pode ser primo. Se k\ge 4 então
k-2\ge 2 \qquad\text{e}\qquad k+2\ge 6,
logo ambos os fatores (k-2) e (k+2) são inteiros maiores ou iguais a 2. Portanto (k-2)(k+2) é o produto de dois inteiros maiores ou iguais a 2, isto é, um número composto (tem um divisor próprio além de 1 e de si mesmo). Assim para todo k\ge 4 a quantidade \,k^{2}-4\, é composta, não pode ser primo.

Passo 6

Resumo das possibilidades analisadas:
  • k=1 -3 (não consideramos primos negativos),
  • k=2 0 (não primo),
  • k=3 5 (primo),
  • k\ge 4 dá números compostos.
Portanto o único primo que aparece na forma \,k^{2}-4\, com k inteiro positivo é 5.

Resposta

5

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