Determine todos os números primos que podem ser escritos da forma
com
um número inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números primos que podem ser escritos da forma
com
um número inteiro positivo.
Informações dadas e o que procuro:
Informações dadas e o que procuro:
-
é um inteiro positivo ( ). - Quero todos os números primos
tais que exista com .
Vou testar possibilidades e usar fatores para ver quandopode ser primo.
Passo 2
Fatoração útil: lembrar a identidade diferença de quadrados. Para quaisquer números
e
vale
Aplicando com
e
obtemos a fatoração da expressão do enunciado:
Explicando devagar: isso significa que
é sempre um produto de dois inteiros, um sendo
e o outro
.
Passo 3
Propriedade básica de primos (lembrando devagar): um número primo positivo
tem exatamente dois divisores positivos,
e
. Portanto, se um número positivo é expresso como produto de dois inteiros positivos, para que esse produto seja primo é necessário que um dos fatores seja
e o outro seja
. Em símbolos: se
com fatores inteiros positivos, então ou
e
ou vice-versa.
Aplicando isso a
: para que
seja um primo positivo, pelo menos um dos fatores
ou
deve ser igual a
(porque ambos são inteiros e, para
, positivos).
Passo 4
Analisar os casos pequenos de
(já que
é positivo,
):
-
: . Isso é negativo; quando falamos em números primos normalmente consideramos primos positivos, então não entra na lista procurada. -
: . Zero não é primo. -
: . Aqui obtemos , que é primo. Note que neste caso e , compatível com a observação do passo anterior.
Passo 5
Agora mostrar que para
a expressão não pode ser primo. Se
então
logo ambos os fatores
e
são inteiros maiores ou iguais a
. Portanto
é o produto de dois inteiros maiores ou iguais a
, isto é, um número composto (tem um divisor próprio além de
e de si mesmo). Assim para todo
a quantidade
é composta, não pode ser primo.
Passo 6
Resumo das possibilidades analisadas:
-
dá (não consideramos primos negativos), -
dá (não primo), -
dá (primo), -
dá números compostos.
Portanto o único primo que aparece na forma
com
inteiro positivo é
.