Mostre que trivialmente todo corpo é um domínio fatorial.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que se K é um corpo, então K é um domínio fatorial. Lembrando que um domínio fatorial (UFD) é um domínio de integridade em que todo elemento não-nulo e não unidade pode ser escrito como produto finito de irreducíveis, e essa fatoração é única, salvo permutação e fatores unitários.

Passo 2

Em um corpo K, todo elemento não-nulo é inversível, ou seja,
\forall\,a\in K\setminus\{0\},\;a\text{ é unidade}.é
Logo não existem elementos não-nulos que não sejam unidades. Portanto o requisito de existência de fatoração em irreducíveis se satisfaz vacuamente, pois não há nenhum elemento a fatorar.

Passo 3

Do mesmo modo, como não há fatorações não-triviais de elementos não-unidade, a condição de unicidade de fatoração também se satisfaz vacuamente: não há duas decomposições distintas para comparar.

Resposta

Todo corpo é um domínio fatorial.

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