Mostre que trivialmente todo corpo é um domínio fatorial.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar que se
é um corpo, então
é um domínio fatorial. Lembrando que um domínio fatorial (UFD) é um domínio de integridade em que todo elemento não-nulo e não unidade pode ser escrito como produto finito de irreducíveis, e essa fatoração é única, salvo permutação e fatores unitários.
Passo 2
Em um corpo
, todo elemento não-nulo é inversível, ou seja,
Logo não existem elementos não-nulos que não sejam unidades. Portanto o requisito de existência de fatoração em irreducíveis se satisfaz vacuamente, pois não há nenhum elemento a fatorar.
Passo 3
Do mesmo modo, como não há fatorações não-triviais de elementos não-unidade, a condição de unicidade de fatoração também se satisfaz vacuamente: não há duas decomposições distintas para comparar.
Resposta
Todo corpo é um domínio fatorial.