Demonstre que todo domínio principal é fatorial.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que todo domínio principal (PID) é um domínio de fatoração única (UFD).
Um domínio principal é um domínio integral em que todo ideal
é gerado por um único elemento, ou seja,
para algum
.
Um domínio fatorial (UFD) é um domínio integral onde todo elemento não–nulo e não–unitário se escreve como produto de irreduzíveis, e essa fatoração é única a menos de permutação e unidades.
Vamos então provar dois pontos fundamentais:
Um domínio principal é um domínio integral
Um domínio fatorial (UFD) é um domínio integral onde todo elemento não–nulo e não–unitário se escreve como produto de irreduzíveis, e essa fatoração é única a menos de permutação e unidades.
Vamos então provar dois pontos fundamentais:
- Em
todo nem unidade admite fatoração em irreduzíveis. - Em
todo irreduzível é primo, o que garante unicidade da fatoração.
Passo 2
(Prova da existência de fatoração)
Seja com
e
não unidade.
Seja
- Se
já for irreduzível, não há nada a fazer. - Caso contrário, existe uma decomposição
com
e
não unidades. Então
mas
não é invertível, de modo que
Repetindo o mesmo raciocínio em
, obtemos uma cadeia estritamente ascendente de ideais principais
Como em todo PID não há cadeias próprias infinitas de ideais (o anel é noetheriano), esse processo termina em número finito de passos numa expressão
onde cada
é irreduzível.
Passo 3
(Prova de que irreduzível
primo)
Seja irreduzível e suponha que
. Queremos mostrar que
ou
.
Seja
- Se
estamos feitos. - Caso contrário,
. Como é PID, existem tais que
Multiplicando por
vem
Como
e
, segue
.
Logo é primo.
Logo
Passo 4
(Unicidade da fatoração)
Num domínio onde todo elemento não–nulo não–unitário fatora em irreduzíveis e onde irreduzíveis são primos, a unicidade da fatoração segue do argumento padrão:
se
Num domínio onde todo elemento não–nulo não–unitário fatora em irreduzíveis e onde irreduzíveis são primos, a unicidade da fatoração segue do argumento padrão:
se
são duas fatorações em irreduzíveis, então
sendo primo divide algum
, forçando
associado a
. Corta-se esse par e itera-se o argumento nos fatores restantes, obtendo-se que
e cada
é associado a um
após permutação.
Resposta
Todo domínio principal é fatorial.