Vamos usar que, em um domínio principal, divisibilidade se traduz em inclusão de ideais: \langle x\rangle\subseteq\langle y\rangle se e somente se y\mid x.
Também precisamos da definição e propriedade de \mathrm{MMC}(a,b):
se \gcd(a,b)=g e escrevemos a=g\,a', b=g\,b' com \gcd(a',b')=1, então
Como a\mid \mathrm{MMC}(a,b), temos \mathrm{MMC}(a,b)\in\langle a\rangle e, pela definição de ideal gerado, todo múltiplo de \mathrm{MMC}(a,b) também está em \langle a\rangle. Ou seja,