(a) Mostre que quando u e v_{x} são muito menores que c na equação:
v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-u}{1-u v_{x} / c^{2}}
v_{x}^{\prime} pode ser escrito como: v_{x}^{\prime}=v_{x}-u.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula relativística para mudança de velocidade na direção x:
v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-u}{1-\dfrac{u v_{x}}{c^{2}}}
e pede para mostrar que, quando u e v_{x} são muito menores que c, essa expressão pode ser escrita como
v_{x}^{\prime}=v_{x}-u.
Informações relevantes que temos: o numerador é v_{x}-u e o denominador é 1-\dfrac{u v_{x}}{c^{2}}. A hipótese é que tanto \dfrac{u}{c} quanto \dfrac{v_{x}}{c} são muito pequenos (isto é, muito menores que 1).

Passo 2

Definimos uma quantidade pequena conveniente para trabalhar com a aproximação. Seja
\varepsilon=\frac{u v_{x}}{c^{2}}.
Como assumimos \dfrac{u}{c}\ll1 e \dfrac{v_{x}}{c}\ll1, o produto também é muito pequeno, isto é \varepsilon\ll1. Isso é a peça-chave: o denominador é 1-\varepsilon com \varepsilon pequeno.

Passo 3

Reescrevemos a expressão original em termos de \varepsilon:
v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-u}{1-\varepsilon}.
Agora o problema virou: aproximar \dfrac{1}{1-\varepsilon} quando \varepsilon\ll1.

Passo 4

Usamos a expansão geométrica (série de potências) válida para |\varepsilon|<1:
\frac{1}{1-\varepsilon}=1+\varepsilon+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{3}+\cdots.
Para \varepsilon\ll1 os termos de ordem \varepsilon^{2} e superiores são negligenciáveis frente a 1 e a \varepsilon. Assim, uma aproximação de primeira ordem é
\frac{1}{1-\varepsilon}\approx 1+\varepsilon.
Uma aproximação ainda mais simples (zero-ésima ordem) é \dfrac{1}{1-\varepsilon}\approx1. Ambas são legítimas dependendo do nível de precisão; aqui basta a aproximação \approx1 porque queremos levar ao limite clássico.

Passo 5

Aplicando a aproximação de ordem zero (denominador aproximado por 1) na expressão de v_{x}^{\prime} obtemos diretamente:
v_{x}^{\prime}\approx v_{x}-u.
Se quisermos ser um pouco mais refinados, usamos a aproximação de primeira ordem 1/(1-\varepsilon)\approx1+\varepsilon e multiplicamos:
v_{x}^{\prime}\approx (v_{x}-u)(1+\varepsilon)=v_{x}-u+(v_{x}-u)\varepsilon.
O termo extra (v_{x}-u)\varepsilon é do tipo \dfrac{u v_{x}^2}{c^{2}} ou \dfrac{u^{2} v_{x}}{c^{2}}, ou seja, um termo de ordem superior em \dfrac{u}{c} e \dfrac{v_{x}}{c}. Como esses quocientes são muito pequenos, esse termo é desprezível frente a v_{x} ou a u.

Passo 6

Portanto, ao descartar termos de ordem superior em \dfrac{u}{c} e \dfrac{v_{x}}{c} (o que é válido na condição dada), ficamos com a forma clássica (não relativística) da composição de velocidades:
v_{x}^{\prime}=v_{x}-u.
Isso significa que, para velocidades muito menores que c, a fórmula relativística se reduz à regra usual de subtração de velocidades (regra de Galileu).

Passo 7

Para dar uma intuição numérica rápida: se u=10\\ \text{m/s} e v_{x}=20\\ \text{m/s}, então
\varepsilon=\frac{u v_{x}}{c^{2}}\approx\frac{10\cdot20}{(3\times10^{8})^{2}}\sim 10^{-15},
extremamente pequeno, de modo que o termo no denominador é praticamente 1 e a aproximação v_{x}^{\prime}=v_{x}-u é perfeitamente adequada.

Resposta

v_{x}^{\prime}=v_{x}-u

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