(a) Mostre que quando
e
são muito menores que
na equação:
pode ser escrito como:
.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula relativística para mudança de velocidade na direção
:
e pede para mostrar que, quando
e
são muito menores que
, essa expressão pode ser escrita como
Informações relevantes que temos: o numerador é
e o denominador é
. A hipótese é que tanto
quanto
são muito pequenos (isto é, muito menores que
).
Passo 2
Definimos uma quantidade pequena conveniente para trabalhar com a aproximação. Seja
Como assumimos
e
, o produto também é muito pequeno, isto é
. Isso é a peça-chave: o denominador é
com
pequeno.
Passo 3
Reescrevemos a expressão original em termos de
:
Agora o problema virou: aproximar
quando
.
Passo 4
Usamos a expansão geométrica (série de potências) válida para
:
Para
os termos de ordem
e superiores são negligenciáveis frente a
e a
. Assim, uma aproximação de primeira ordem é
Uma aproximação ainda mais simples (zero-ésima ordem) é
. Ambas são legítimas dependendo do nível de precisão; aqui basta a aproximação
porque queremos levar ao limite clássico.
Passo 5
Aplicando a aproximação de ordem zero (denominador aproximado por
) na expressão de
obtemos diretamente:
Se quisermos ser um pouco mais refinados, usamos a aproximação de primeira ordem
e multiplicamos:
O termo extra
é do tipo
ou
, ou seja, um termo de ordem superior em
e
. Como esses quocientes são muito pequenos, esse termo é desprezível frente a
ou a
.
Passo 6
Portanto, ao descartar termos de ordem superior em
e
(o que é válido na condição dada), ficamos com a forma clássica (não relativística) da composição de velocidades:
Isso significa que, para velocidades muito menores que
, a fórmula relativística se reduz à regra usual de subtração de velocidades (regra de Galileu).
Passo 7
Para dar uma intuição numérica rápida: se
e
, então
extremamente pequeno, de modo que o termo no denominador é praticamente
e a aproximação
é perfeitamente adequada.