A Teoria da Relatividade restrita, proposta por Albert Einstein (1879-1955) em 1905, é revolucionária porque mudou as ideias sobre o espaço e o tempo, mas em perfeito acordo
com os resultados experimentais. Ela é aplicada, entretanto, somente a referenciais inerciais. Em 1915, Einstein propôs a Teoria geral da Relatividade, válida não só para referenciais inerciais, mas também para referenciais não inerciais.
Sobre referenciais inerciais, considere as seguintes afirmativas: I. São referenciais que se movem, uns em relação aos outros, com velocidade constante.
II. São referenciais que se movem, uns em relação aos outros, com velocidade variável.
III. Observadores em referenciais inerciais diferentes medem a mesma aceleração para o movimento de uma partícula. Assinale a alternativa correta.
(a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(c) As afirmativas I e II são verdadeiras.
(d) As afirmativas II e III são verdadeiras.
(e) As afirmativas I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas sobre referenciais inerciais e pede que eu escolha quais são verdadeiras:
I. São referenciais que se movem, uns em relação aos outros, com velocidade constante.
II. São referenciais que se movem, uns em relação aos outros, com velocidade variável.
III. Observadores em referenciais inerciais diferentes medem a mesma aceleração para o movimento de uma partícula.
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras.

Passo 2

Vamos fixar o que significa mover-se com velocidade constante e o que seria um referencial inercial (explicação didática).
  • Chamo de \mathbf{r}(t) o vetor posição de uma partícula em um referencial S.
  • A velocidade é \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}.
  • A aceleração é \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}=\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}.
    Um referencial é chamado de inercial quando nele valem as leis de Newton na forma simples (por exemplo, uma partícula sem forças tem aceleração nula). Na prática, dois referenciais são inerciais entre si quando o movimento relativo entre eles é retilíneo uniforme — isto é, com velocidade constante (sem aceleração). Essa é a definição usada em mecânica clássica e também no enunciado que distingue Relatividade Restrita (aplicável a referenciais inerciais).

Passo 3

Mostro por que a afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é falsa (passo-a-passo matemático simples).
Considere dois referenciais S e S'. Suponha que S' se move em relação a S com velocidade constante \mathbf{V}. A transformação de posições (transformação de Galileu) é
\mathbf{r}'(t)=\mathbf{r}(t)-\mathbf{V}t,
onde \mathbf{V} é um vetor constante (velocidade relativa fixa entre os referenciais). Diferenciando em relação a t obtemos a relação entre velocidades:
\mathbf{v}'(t)=\dfrac{d\mathbf{r}'}{dt}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}-\mathbf{V}=\mathbf{v}(t)-\mathbf{V}.
Dessa forma, quando a velocidade relativa é constante, a transformação entre velocidades é apenas uma subtração de uma constante. Logo:
  • A afirmativa I (“velocidade constante”) descreve exatamente essa situação: é verdadeira.
  • A afirmativa II (“velocidade variável”) descreve o oposto (referenciais que se aceleram entre si); esses são referenciais não inerciais. Portanto a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Agora mostro por que a afirmativa III é verdadeira, usando a relação entre acelerações.
Continuando da relação de velocidades, derivamos novamente:
\mathbf{a}'(t)=\dfrac{d\mathbf{v}'}{dt}=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}-\dfrac{d\mathbf{V}}{dt}.
Como \mathbf{V} é constante (porque estamos considerando referenciais inerciais, que se movem com velocidade constante entre si), temos \dfrac{d\mathbf{V}}{dt}=\mathbf{0}. Portanto
\mathbf{a}'(t)=\mathbf{a}(t).
Isto significa que dois observadores em referenciais inerciais diferentes medem a mesma aceleração para uma mesma partícula. Em palavras: se S' só difere de S por uma velocidade constante, as acelerações são invariantes entre esses referenciais. Assim, a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Dou um exemplo físico para fixar a ideia e evitar confusão: imagine uma bola caindo livremente com aceleração \mathbf{g} em relação ao solo S. Um observador num trem que se move com velocidade constante \mathbf{V} em relação ao solo também medirá a aceleração da bola igual a \mathbf{g}. Se, porém, o trem estivesse acelerando (velocidade variável), então as medidas de aceleração difeririam e o trem seria um referencial não inercial.

Resposta

(e)

Exercícios relacionados