Explique a dilatação do tempo na Teoria da Relatividade Especial e mostre que a dilatação do tempo é dada por:
\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: explicar o que é a dilatação do tempo e mostrar matematicamente que ela é dada por
\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}.
Dados explícitos que vamos usar: u é a velocidade relativa entre dois referenciais inerciais, c é a velocidade da luz no vácuo, \Delta t_{0} é um intervalo de tempo medido no referencial onde o relógio está em repouso (tempo próprio) e \Delta t é o intervalo de tempo medido em um referencial no qual o relógio se move com velocidade u.

Passo 2

Vamos construir um experimento mental simples (o famoso “relógio de luz”) que deixa a ideia transparente. Imagine um relógio formado por dois espelhos paralelos separados por uma distância L. Um pulso de luz vai do espelho inferior ao superior e volta — cada ida-e-volta é um “tic” do relógio. No referencial do relógio (onde o relógio está parado) o tempo entre um tic e o próximo é simplesmente o tempo que a luz leva para percorrer ida e volta.
No referencial do relógio (referencial próprio):
\text{tempo de ida-e-volta}=\Delta t_{0}=\frac{2L}{c}.
Explicação: a luz percorre distância 2L (ida e volta) à velocidade c, logo o tempo é distância sobre velocidade. Aqui \Delta t_{0} é chamado de tempo próprio porque é medido no mesmo lugar onde o evento (o tic) ocorre.

Passo 3

Agora olhe para esse mesmo relógio a partir de um referencial no qual o relógio move-se horizontalmente com velocidade u. Do ponto de vista desse observador, durante o tempo que a luz vai do espelho inferior ao superior, o relógio avançou horizontalmente uma certa distância, portanto o trajeto da luz não é vertical, é diagonal. A velocidade da luz continua sendo c para todos os observadores (princípio fundamental da Relatividade Especial). Vamos analisar apenas a metade do ciclo (ida), o que simplifica sem perder generalidade; o raciocínio é o mesmo para a volta.
Seja \Delta t o tempo entre ida e volta medido por esse observador móvel; a metade desse intervalo é \Delta t/2. Durante esse tempo a luz percorre, em módulo, uma distância c\,\frac{\Delta t}{2}. Horizontalmente o espelho deslocou-se uma distância u\,\frac{\Delta t}{2}. Verticalmente a separação entre espelhos continua sendo L. Assim, formamos um triângulo retângulo (pela figura imaginária) cuja hipotenusa é o caminho da luz na ida e os catetos são L (vertical) e u\,\frac{\Delta t}{2} (horizontal). Aplicando o teorema de Pitágoras:
\left(c\frac{\Delta t}{2}\right)^{2}=L^{2}+\left(u\frac{\Delta t}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Agora manipule essa equação passo a passo para isolar \Delta t. Primeiro expanda os quadrados:
c^{2}\frac{\Delta t^{2}}{4}=L^{2}+u^{2}\frac{\Delta t^{2}}{4}.
Coloque os termos com \Delta t^{2} no mesmo lado:
c^{2}\frac{\Delta t^{2}}{4}-u^{2}\frac{\Delta t^{2}}{4}=L^{2}.
Fatorte \frac{\Delta t^{2}}{4}:
\left(c^{2}-u^{2}\right)\frac{\Delta t^{2}}{4}=L^{2}.
Isole \Delta t^{2}:
\Delta t^{2}=\frac{4L^{2}}{c^{2}-u^{2}}.
Coloque c^{2} em evidência no denominador para obter uma forma que contenha 1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}:
\Delta t^{2}=\frac{4L^{2}}{c^{2}\left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)}.
Repare que \dfrac{2L}{c}=\Delta t_{0} (do Passo 2). Então \dfrac{4L^{2}}{c^{2}}=\Delta t_{0}^{2}. Substituindo:
\Delta t^{2}=\frac{\Delta t_{0}^{2}}{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}.
Tome a raiz positiva (tempo é positivo):
\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
Pronto — chegamos à fórmula pedida.

Passo 5

Interpretação física e propriedades importantes, explicadas com calma:
  • A quantidade \Delta t_{0} é o tempo próprio: o tempo medido no referencial onde o relógio está em repouso. É o menor intervalo entre os dois eventos “luz sai do espelho inferior” e “luz volta ao espelho inferior”.
  • A quantidade \Delta t é o tempo medido por um observador que vê o relógio em movimento. A fórmula mostra que \Delta t\ge\Delta t_{0}: um relógio em movimento é observado como “andando mais devagar” — isto é, o tempo dilata.
  • Define-se o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}},
então a relação fica \Delta t=\gamma\,\Delta t_{0}.
  • Para velocidades pequenas ( u\ll c) temos \gamma\approx 1+\dfrac{1}{2}\dfrac{u^{2}}{c^{2}}, logo o efeito é minúsculo e inapreciável no cotidiano. Para velocidades próximas de c o efeito fica grande.
  • Exemplo numérico rápido: se u=0{,}8\,c então 1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}=1-0{,}64=0{,}36, logo \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}36}}=\dfrac{1}{0{,}6}=1{,}666\ldots. Assim \Delta t\approx 1{,}667\,\Delta t_{0} — o observador externo mede um tempo 66,7% maior entre tics do relógio em movimento.
  • Observação conceitual importante: a dilatação do tempo decorre das duas hipóteses fundamentais da Relatividade Especial — as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais e a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores. Isso muda a noção clássica de tempo absoluto e leva à necessidade das transformações de Lorentz.

Resposta

\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}

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