Explique a dilatação do tempo na Teoria da Relatividade Especial e mostre que a dilatação do tempo é dada por:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: explicar o que é a dilatação do tempo e mostrar matematicamente que ela é dada por
Dados explícitos que vamos usar:
é a velocidade relativa entre dois referenciais inerciais,
é a velocidade da luz no vácuo,
é um intervalo de tempo medido no referencial onde o relógio está em repouso (tempo próprio) e
é o intervalo de tempo medido em um referencial no qual o relógio se move com velocidade
.
Passo 2
Vamos construir um experimento mental simples (o famoso “relógio de luz”) que deixa a ideia transparente. Imagine um relógio formado por dois espelhos paralelos separados por uma distância
. Um pulso de luz vai do espelho inferior ao superior e volta — cada ida-e-volta é um “tic” do relógio. No referencial do relógio (onde o relógio está parado) o tempo entre um tic e o próximo é simplesmente o tempo que a luz leva para percorrer ida e volta.
No referencial do relógio (referencial próprio):
Explicação: a luz percorre distância
(ida e volta) à velocidade
, logo o tempo é distância sobre velocidade. Aqui
é chamado de tempo próprio porque é medido no mesmo lugar onde o evento (o tic) ocorre.
Passo 3
Agora olhe para esse mesmo relógio a partir de um referencial no qual o relógio move-se horizontalmente com velocidade
. Do ponto de vista desse observador, durante o tempo que a luz vai do espelho inferior ao superior, o relógio avançou horizontalmente uma certa distância, portanto o trajeto da luz não é vertical, é diagonal. A velocidade da luz continua sendo
para todos os observadores (princípio fundamental da Relatividade Especial). Vamos analisar apenas a metade do ciclo (ida), o que simplifica sem perder generalidade; o raciocínio é o mesmo para a volta.
Seja
o tempo entre ida e volta medido por esse observador móvel; a metade desse intervalo é
. Durante esse tempo a luz percorre, em módulo, uma distância
. Horizontalmente o espelho deslocou-se uma distância
. Verticalmente a separação entre espelhos continua sendo
. Assim, formamos um triângulo retângulo (pela figura imaginária) cuja hipotenusa é o caminho da luz na ida e os catetos são
(vertical) e
(horizontal). Aplicando o teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora manipule essa equação passo a passo para isolar
. Primeiro expanda os quadrados:
Coloque os termos com
no mesmo lado:
Fatorte
:
Isole
:
Coloque
em evidência no denominador para obter uma forma que contenha
:
Repare que
(do Passo 2). Então
. Substituindo:
Tome a raiz positiva (tempo é positivo):
Pronto — chegamos à fórmula pedida.
Passo 5
Interpretação física e propriedades importantes, explicadas com calma:
- A quantidade
é o tempo próprio: o tempo medido no referencial onde o relógio está em repouso. É o menor intervalo entre os dois eventos “luz sai do espelho inferior” e “luz volta ao espelho inferior”. - A quantidade
é o tempo medido por um observador que vê o relógio em movimento. A fórmula mostra que : um relógio em movimento é observado como “andando mais devagar” — isto é, o tempo dilata. - Define-se o fator de Lorentz
então a relação fica
.
- Para velocidades pequenas (
) temos , logo o efeito é minúsculo e inapreciável no cotidiano. Para velocidades próximas de o efeito fica grande. - Exemplo numérico rápido: se
então , logo . Assim — o observador externo mede um tempo 66,7% maior entre tics do relógio em movimento. - Observação conceitual importante: a dilatação do tempo decorre das duas hipóteses fundamentais da Relatividade Especial — as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais e a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores. Isso muda a noção clássica de tempo absoluto e leva à necessidade das transformações de Lorentz.