Sejam
e
elementos de um grupo multiplicativo
. Supondo
, mostre que
Dica: mostre, por indução, que
Dica: mostre, por indução, que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Dados:
e são elementos de um grupo multiplicativo . - Foi informado que
. Ou seja, existe um inteiro positivo tal que (onde é o elemento identidade de ) e é o menor inteiro positivo com essa propriedade. - Pedido: mostrar que
. Em palavras: provar que o elemento tem a mesma ordem que .
O enunciado sugere mostrar, por indução, a identidade
para todo inteiro
. Essa identidade será a ferramenta principal.
Passo 2
Primeiro, uma mini-aula sobre o que é ordem de um elemento e as ferramentas que vamos usar.
- Definição: para um elemento
, a ordem é o menor inteiro positivo tal que , se esse existir; caso contrário diz-se que . - Aqui já se deu que
, ou seja, e é o menor inteiro positivo com essa propriedade. - Estratégia geral: vamos relacionar potências de
com potências de usando a identidade do enunciado. A ideia é que, aplicando essa identidade para , teremos o que permitirá concluir que . Assim divide . Depois fazemos o argumento inverso (se então ) para concluir que .
Vou agora provar a identidade sugerida por indução, passo a passo, e então usar essa identidade para concluir a igualdade das ordens.
Passo 3
Prova por indução da identidade
para todo inteiro
.
-
Base
: temos então a identidade vale para. -
Passo indutivo: suponha que a identidade vale para algum
, isto é, assumimos Queremos mostrar que vale para. Começamos com o lado esquerdo para : Usando a hipótese indutiva substituímospor , obtendo Agora, portanto Assim a identidade vale para. Pelo princípio da indução matemática, vale para todo .
Passo 4
Usando a identidade já provada com
(onde
, então
):
Aplicando a identidade:
Como
, o lado direito é
. Logo
Multiplicando à esquerda por
(que existe porque estamos em um grupo), obtemos
Portanto
, isto é, um expoente positivo
anula
. Assim a ordem de
, digamos
, é um divisor de
(porque
é o menor inteiro positivo com
e
implica
). Em particular
é finita e
.
Passo 5
Agora mostramos a desigualdade inversa (que força igualdade): se
para algum inteiro positivo
, então
. Assim a ordem de
divide qualquer expoente que anula
, e com isso concluímos que
divide
.
A demonstração é análoga: usando a identidade válida para todo
, tomamos
e obtemos
Se
, o lado esquerdo é
. Logo
Multiplicando à direita por
obtemos
. Portanto qualquer
tal que
satisfaz
. Em particular, a ordem
divide qualquer tal
. Aplicando isso ao caso
(o menor expoente que anula
), concluímos
.
Passo 6
Combinação das duas divisibilidades:
- Do Passo 4 temos
. - Do Passo 5 (aplicado a
) temos .
As únicas maneiras de dois inteiros positivos dividirem-se mutuamente é serem iguais. Logo
.
Isso completa a prova.