Sejam a e b elementos de um grupo multiplicativo G. Supondo \mathbf{o}(a b)= h>0, mostre que \mathbf{o}(b a)=h>0
Dica: mostre, por indução, que a(b a)^{h}=(a b)^{h} a

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Dados: a e b são elementos de um grupo multiplicativo G.
  • Foi informado que \mathbf{o}(ab)=h>0. Ou seja, existe um inteiro positivo h tal que (ab)^{h}=e (onde e é o elemento identidade de G) e h é o menor inteiro positivo com essa propriedade.
  • Pedido: mostrar que \mathbf{o}(ba)=h. Em palavras: provar que o elemento ba tem a mesma ordem h que ab.
O enunciado sugere mostrar, por indução, a identidade
a(ba)^{k}=(ab)^{k}a
para todo inteiro k\ge 1. Essa identidade será a ferramenta principal.

Passo 2

Primeiro, uma mini-aula sobre o que é ordem de um elemento e as ferramentas que vamos usar.
  • Definição: para um elemento x\in G, a ordem \mathbf{o}(x) é o menor inteiro positivo n tal que x^{n}=e, se esse n existir; caso contrário diz-se que \mathbf{o}(x)=\infty.
  • Aqui já se deu que \mathbf{o}(ab)=h>0, ou seja, (ab)^{h}=e e h é o menor inteiro positivo com essa propriedade.
  • Estratégia geral: vamos relacionar potências de ba com potências de ab usando a identidade do enunciado. A ideia é que, aplicando essa identidade para k=h, teremos a(ba)^{h}=(ab)^{h}a=e\,a=a,o que permitirá concluir que (ba)^{h}=e. Assim \mathbf{o}(ba) divide h. Depois fazemos o argumento inverso (se (ba)^{m}=e então (ab)^{m}=e) para concluir que \mathbf{o}(ba)=h.
Vou agora provar a identidade sugerida por indução, passo a passo, e então usar essa identidade para concluir a igualdade das ordens.

Passo 3

Prova por indução da identidade a(ba)^{k}=(ab)^{k}a para todo inteiro k\ge 1.
  • Base k=1: temos
    a(ba)^{1}=a(ba)=a b a=(ab)^{1}a,
    então a identidade vale para k=1.
  • Passo indutivo: suponha que a identidade vale para algum k\ge1, isto é, assumimos
    a(ba)^{k}=(ab)^{k}a.
    Queremos mostrar que vale para k+1. Começamos com o lado esquerdo para k+1:
    a(ba)^{k+1}=a(ba)^{k}(ba).
    Usando a hipótese indutiva substituímos a(ba)^{k} por (ab)^{k}a, obtendo
    a(ba)^{k+1}=(ab)^{k}a(ba).
    Agora a(ba)=a b a=(ab)a, portanto
    a(ba)^{k+1}=(ab)^{k}(ab)a=(ab)^{k+1}a.
    Assim a identidade vale para k+1. Pelo princípio da indução matemática, vale para todo k\ge1.

Passo 4

Usando a identidade já provada com k=h (onde \mathbf{o}(ab)=h, então (ab)^{h}=e):
Aplicando a identidade:
a(ba)^{h}=(ab)^{h}a.
Como (ab)^{h}=e, o lado direito é e\,a=a. Logo
a(ba)^{h}=a.
Multiplicando à esquerda por a^{-1} (que existe porque estamos em um grupo), obtemos
(ba)^{h}=e.
Portanto (ba)^{h}=e, isto é, um expoente positivo h anula ba. Assim a ordem de ba, digamos d=\mathbf{o}(ba), é um divisor de h (porque d é o menor inteiro positivo com (ba)^d=e e (ba)^h=e implica d\mid h). Em particular \mathbf{o}(ba) é finita e \mathbf{o}(ba)\le h.

Passo 5

Agora mostramos a desigualdade inversa (que força igualdade): se (ba)^{m}=e para algum inteiro positivo m, então (ab)^{m}=e. Assim a ordem de ab divide qualquer expoente que anula ba, e com isso concluímos que \mathbf{o}(ab) divide \mathbf{o}(ba).
A demonstração é análoga: usando a identidade válida para todo k, tomamos k=m e obtemos
a(ba)^{m}=(ab)^{m}a.
Se (ba)^{m}=e, o lado esquerdo é a. Logo
a=(ab)^{m}a.
Multiplicando à direita por a^{-1} obtemos (ab)^{m}=e. Portanto qualquer m tal que (ba)^{m}=e satisfaz (ab)^{m}=e. Em particular, a ordem h=\mathbf{o}(ab) divide qualquer tal m. Aplicando isso ao caso m=\mathbf{o}(ba) (o menor expoente que anula ba), concluímos h\mid \mathbf{o}(ba).

Passo 6

Combinação das duas divisibilidades:
  • Do Passo 4 temos \mathbf{o}(ba)\mid h.
  • Do Passo 5 (aplicado a m=\mathbf{o}(ba)) temos h\mid \mathbf{o}(ba).
As únicas maneiras de dois inteiros positivos dividirem-se mutuamente é serem iguais. Logo \mathbf{o}(ba)=h.
Isso completa a prova.

Resposta

\mathbf{o}(b a)=h

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