Mostre que a unidade Watt é equivalente à \mathrm{kg} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}^{3}. Para tanto, utilize definição unitária de Newton, Joule, velocidade e massa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a unidade Watt é equivalente a \mathrm{kg}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{3}. As informações/definições unitárias que vamos usar (fornecidas pelo enunciado) são: a definição do Newton, do Joule, da velocidade e da massa. Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
  • unidade de força: Newton ( \mathrm{N}) — vamos usar sua definição em termos de massa, comprimento e tempo;
  • unidade de energia: Joule ( \mathrm{J}) — definida em função de Newton e metro;
  • unidade de potência: Watt ( \mathrm{W}) — definida como Joule por segundo;
  • unidades básicas: massa em \mathrm{kg}, comprimento em \mathrm{m}, tempo em \mathrm{s}.
    Nada mais é pedido além de demonstrar, por manipulação de unidades, a equivalência \mathrm{W} \equiv \mathrm{kg}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{3}.

Passo 2

Definimos a unidade de força (Newton) em termos das unidades básicas. Por definição unitária:
\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.
Explicação didática: um Newton é a força necessária para acelerar uma massa de 1 quilograma à razão de 1 metro por segundo ao quadrado. Aqui \mathrm{kg} é a unidade de massa, \mathrm{m} de comprimento e \mathrm{s} de tempo. O expoente -2 em \mathrm{s}^{-2} vem da aceleração (velocidade por tempo).

Passo 3

Definimos a unidade de energia (Joule) em termos de força e deslocamento:
\mathrm{J} = \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Explicação didática: Joule é trabalho/energia — produto de uma força por um deslocamento na direção da força. Então, unidade de energia é unidade de força multiplicada por unidade de comprimento.

Passo 4

Definimos a unidade de potência (Watt) em termos de energia por tempo:
\mathrm{W} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}.
Explicação didática: potência é a taxa de variação de energia — quantos Joules são transferidos por segundo. Portanto divisão por \mathrm{s} (tempo) aparece na unidade.

Passo 5

Agora substituímos a definição de \mathrm{J} em \mathrm{W} usando \mathrm{J}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}:
\mathrm{W} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Explicação didática: estamos escrevendo potência como força vezes distância por tempo — intuitivamente, força \times velocidade também dá potência (ver passo 7).

Passo 6

Substituímos a definição de \mathrm{N} em termos de \mathrm{kg},\mathrm{m},\mathrm{s} dentro da expressão anterior:
\mathrm{W} = \frac{(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2})\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Detalhe: aqui substituímos \mathrm{N}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} e multiplicamos por mais um fator \mathrm{m} (do Joule).

Passo 7

Fazemos a álgebra das potências (regras de expoentes) para combinar os fatores:
\mathrm{W} = \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{s}}.
Agora dividimos por \mathrm{s}, o que equivale a subtrair 1 no expoente de \mathrm{s}:
\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}.
Explicação didática das regras usadas: quando multiplicamos igual base somamos expoentes; quando dividimos igual base subtraímos expoentes. Aqui \mathrm{s}^{-2}/\mathrm{s} = \mathrm{s}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-1} = \mathrm{s}^{-3}.

Passo 8

Para reforçar o sentido físico (pequena aula-concreto): potência também pode ser obtida como força vezes velocidade. Unidades:
\mathrm{N}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2})\cdot(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3},
o que é consistente com o resultado acima. Exemplo numérico rápido: uma força de 10\\ \mathrm{N} aplicada para mover algo a 2\\ \mathrm{m/s} produz potência 10\cdot2=20\\ \mathrm{W}; dimensionalmente, \mathrm{N}\cdot\mathrm{m/s} \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}.

Resposta

\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}

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