Mostre que a unidade Watt é equivalente à
. Para tanto, utilize definição unitária de Newton, Joule, velocidade e massa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a unidade Watt é equivalente a
. As informações/definições unitárias que vamos usar (fornecidas pelo enunciado) são: a definição do Newton, do Joule, da velocidade e da massa. Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
- unidade de força: Newton (
) — vamos usar sua definição em termos de massa, comprimento e tempo; - unidade de energia: Joule (
) — definida em função de Newton e metro; - unidade de potência: Watt (
) — definida como Joule por segundo; - unidades básicas: massa em
, comprimento em , tempo em .
Nada mais é pedido além de demonstrar, por manipulação de unidades, a equivalência.
Passo 2
Definimos a unidade de força (Newton) em termos das unidades básicas. Por definição unitária:
Explicação didática: um Newton é a força necessária para acelerar uma massa de
quilograma à razão de
metro por segundo ao quadrado. Aqui
é a unidade de massa,
de comprimento e
de tempo. O expoente
em
vem da aceleração (velocidade por tempo).
Passo 3
Definimos a unidade de energia (Joule) em termos de força e deslocamento:
Explicação didática: Joule é trabalho/energia — produto de uma força por um deslocamento na direção da força. Então, unidade de energia é unidade de força multiplicada por unidade de comprimento.
Passo 4
Definimos a unidade de potência (Watt) em termos de energia por tempo:
Explicação didática: potência é a taxa de variação de energia — quantos Joules são transferidos por segundo. Portanto divisão por
(tempo) aparece na unidade.
Passo 5
Agora substituímos a definição de
em
usando
:
Explicação didática: estamos escrevendo potência como força vezes distância por tempo — intuitivamente, força
velocidade também dá potência (ver passo 7).
Passo 6
Substituímos a definição de
em termos de
dentro da expressão anterior:
Detalhe: aqui substituímos
e multiplicamos por mais um fator
(do Joule).
Passo 7
Fazemos a álgebra das potências (regras de expoentes) para combinar os fatores:
Agora dividimos por
, o que equivale a subtrair 1 no expoente de
:
Explicação didática das regras usadas: quando multiplicamos igual base somamos expoentes; quando dividimos igual base subtraímos expoentes. Aqui
.
Passo 8
Para reforçar o sentido físico (pequena aula-concreto): potência também pode ser obtida como força vezes velocidade. Unidades:
o que é consistente com o resultado acima. Exemplo numérico rápido: uma força de
aplicada para mover algo a
produz potência
; dimensionalmente,
dá
.