Um tanque grande inicialmente está preenchido com água até 5 m acima do centro de um orifício com diâmetro de 10 cm e pontas afiadas. A superfície da água ao tanque é aberta para a atmosfera. Se a perda irreversível total de carga no sistema for de 0,3 \mathrm{~m}, determine a velocidade da descarga inicial da água no tanque. (R: 9,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O que o problema pede: determinar a velocidade inicial de descarga da água pelo orifício.
Informações dadas:
  • A superfície livre da água está a 5\\ \mathrm{m} acima do centro do orifício.
  • O orifício tem diâmetro 10\\ \mathrm{cm} e pontas afiadas (informação sobre o tipo de orifício).
  • A superfície livre e a saída estão expostas à atmosfera (pressões iguais).
  • A perda irreversível total de carga no sistema é 0,3\\ \mathrm{m}.
  • O tanque é “grande” (implica que a velocidade da superfície pode ser desprezada).
  • Queremos a velocidade inicial de descarga (velocidade do jato na saída).

Passo 2

Qual é a ideia física e a equação que vamos usar?
Vou usar a equação de Bernoulli generalizada entre a superfície livre (ponto 1) e o jato na saída (ponto 2), incluindo a perda de carga irreversível h_L. Isso relaciona energia por unidade de peso nos dois pontos e permite achar a velocidade do jato a partir da diferença de cotas menos as perdas.

Passo 3

Escrevendo a equação de Bernoulli com perda de carga entre os pontos 1 (superfície livre) e 2 (saída):
\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} \;=\; \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + h_L
Explanação dos termos:
  • \frac{p}{\gamma} é a carga de pressão (m); \gamma é o peso específico do fluido.
  • z é a cota (m) em relação a um referencial.
  • \frac{v^2}{2g} é a carga cinética (m).
  • h_L é a perda de carga irreversível total (m).
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
    Cada termo tem unidades de metros (carga).

Passo 4

Aplicando simplificações apropriadas ao problema:
  • A superfície livre e a saída estão à mesma pressão atmosférica, logo \frac{p_1}{\gamma}=\frac{p_2}{\gamma} e esses termos se cancelam.
  • O tanque é grande, então a velocidade da superfície é desprezível: v_1\approx 0.
  • A diferença de cotas entre superfície e centro do orifício é z_1-z_2=5\\ \mathrm{m}.
  • A perda de carga total é h_L=0,3\\ \mathrm{m}.
Substituindo essas simplificações na equação de Bernoulli obtemos:
z_1 + 0 \;=\; z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + h_L.

Passo 5

Isolando \frac{v_2^2}{2g} e resolvendo para v_2:
\frac{v_2^2}{2g} = (z_1 - z_2) - h_L.
Portanto
v_2 = \sqrt{2g\bigl((z_1-z_2)-h_L\bigr)}.
Agora substituímos os valores numéricos: z_1-z_2=5\\ \mathrm{m}, h_L=0,3\\ \mathrm{m} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
v_2 = \sqrt{2\cdot 9,81\cdot(5 - 0,3)} = \sqrt{19,62\cdot 4,7}.
Calculemos passo a passo:
19,62\cdot 4,7 = 92,214,
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v_2 = \sqrt{92,214}\approx 9,6007\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação e observações finais:
  • O diâmetro do orifício ( 10\\ \mathrm{cm}) não entrou no cálculo da velocidade; ele seria necessário se quiséssemos a vazão volumétrica Q (porque Q=A v_2 com A área do orifício).
  • A perda de carga 0,3\\ \mathrm{m} já contabiliza as perdas irreversíveis (contração, atrito local, etc.), por isso não precisamos aplicar coeficiente de velocidade separado neste cálculo.
  • O resultado está em acordo com o valor de referência fornecido.

Resposta

9,6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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