Mostre, usando o critério da integral, que as seguintes séries são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o critério da integral, que a série
é convergente. As informações que temos são:
- A série tem termos gerais positivos
(para e fixo). - Não foi dado mais nada sobre
no enunciado, então considero um número real fixo (casos , e serão cobertos pela mesma ideia).
O que precisamos provar: aplicar o critério da integral mostrando que a integral imprópria correspondente converge, e daí concluir que a série converge.
Passo 2
Vou enunciar o critério da integral (de forma clara e com o que vou usar).
Se é uma função positiva, contínua e monotona decrescente a partir de algum ponto, então a série
Se
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Explicando um pouco: “positiva” significa para
grande; “monotona decrescente a partir de algum ponto” quer dizer que existe
tal que
é decrescente em
. Usarei essa versão do critério: mostrarei que
satisfaz as hipóteses (a partir de um certo
) e que
é finita.
Explicando um pouco: “positiva” significa
Passo 3
Defino a função que vou integrar:
Primeiro,
e
é contínua em
— claro, produto de funções contínuas e positivas. Agora verifico a monotonicidade eventual calculando a derivada:
Observação: aqui usei a regra do produto e a derivada de
(para
real, a expressão formal
vale para
); então
tem sinal do fator
(porque
para
). Logo, para todo
tem-se
. Portanto existe
(por exemplo) tal que
é decrescente em
. Assim as hipóteses do critério da integral estão satisfeitas a partir de
.
Passo 4
Pelo critério da integral, basta mostrar que a integral imprópria
converge. Vou dividir a verificação em duas partes simples: a parte entre
e um número finito
(que é trivial) e a cauda
que precisa de comparação com uma função exponencial mais simples.
Parte 1: a integral em
é finita porque a função é contínua nesse intervalo. Então só falta tratar
para algum
grande.
Passo 5
Mostro que a cauda decai exponencialmente rápido: a ideia é encontrar
suficientemente grande tal que, para todo
,
Se isso ocorrer, então
e como
converge (é uma integral exponencial), teremos convergência da cauda.
Para justificar a existência de tal
, observo o seguinte limite clássico:
Multiplicando por
(constante fixa) dá
. Portanto existe
tal que, para todo
,
Isto é equivalente a
Assim a desigualdade desejada vale para
. Então, para
,
Integrando em
obtemos
E a integral do lado direito é simples e finita:
Passo 6
Juntando as partes: a integral em
é finita (continuidade) e a integral em
é finita pela comparação com
. Logo
Portanto, usando o critério da integral (já que
é positiva e decrescente a partir de um
), concluímos que a série
converge. (Observação: a mesma conclusão vale para qualquer
.)
Resposta
A série
é convergente.