Mostre, usando o critério da integral, que as seguintes séries são convergentes:
\sum n^{k} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o critério da integral, que a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} e^{-n}
é convergente. As informações que temos são:
  • A série tem termos gerais positivos a_n=n^{k} e^{-n} (para n\ge 1 e k fixo).
  • Não foi dado mais nada sobre k no enunciado, então considero k um número real fixo (casos k>0, k=0 e k<0 serão cobertos pela mesma ideia).
    O que precisamos provar: aplicar o critério da integral mostrando que a integral imprópria correspondente converge, e daí concluir que a série converge.

Passo 2

Vou enunciar o critério da integral (de forma clara e com o que vou usar).
Se f:(1,\infty)\to\mathbb{R} é uma função positiva, contínua e monotona decrescente a partir de algum ponto, então a série
\sum_{n=1}^{\infty} f(n)
converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge.
Explicando um pouco: “positiva” significa f(x)>0 para x grande; “monotona decrescente a partir de algum ponto” quer dizer que existe N tal que f é decrescente em [N,\infty). Usarei essa versão do critério: mostrarei que f(x)=x^{k}e^{-x} satisfaz as hipóteses (a partir de um certo N) e que \int_{1}^{\infty} x^{k}e^{-x}\,dx é finita.

Passo 3

Defino a função que vou integrar:
f(x)=x^{k} e^{-x},\qquad x\ge 1.
Primeiro, f(x)>0 e f é contínua em [1,\infty) — claro, produto de funções contínuas e positivas. Agora verifico a monotonicidade eventual calculando a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{k} e^{-x}\big)=x^{k-1} e^{-x}\,(k-x).
Observação: aqui usei a regra do produto e a derivada de x^{k} (para k real, a expressão formal x^{k-1} vale para x>0); então f'(x) tem sinal do fator (k-x) (porque x^{k-1}e^{-x}>0 para x>0). Logo, para todo x>k tem-se f'(x)<0. Portanto existe N=\lceil k\rceil+1 (por exemplo) tal que f é decrescente em [N,\infty). Assim as hipóteses do critério da integral estão satisfeitas a partir de N.

Passo 4

Pelo critério da integral, basta mostrar que a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{-x}\,dx
converge. Vou dividir a verificação em duas partes simples: a parte entre 1 e um número finito M (que é trivial) e a cauda [M,\infty) que precisa de comparação com uma função exponencial mais simples.
Parte 1: a integral em [1,M] é finita porque a função é contínua nesse intervalo. Então só falta tratar \int_{M}^{\infty} x^{k} e^{-x}\,dx para algum M grande.

Passo 5

Mostro que a cauda decai exponencialmente rápido: a ideia é encontrar M suficientemente grande tal que, para todo x\ge M,
x^{k} \le e^{x/2}.
Se isso ocorrer, então
x^{k} e^{-x} \le e^{-x/2},
e como \int_{M}^{\infty} e^{-x/2}\,dx converge (é uma integral exponencial), teremos convergência da cauda.
Para justificar a existência de tal M, observo o seguinte limite clássico:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.
Multiplicando por k (constante fixa) dá \lim_{x\to\infty}\dfrac{k\ln x}{x}=0. Portanto existe M tal que, para todo x\ge M,
\frac{k\ln x}{x} \le \frac{1}{2}.
Isto é equivalente a
k\ln x \le \frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad \ln x^{k} \le \frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{k}\le e^{x/2}.
Assim a desigualdade desejada vale para x\ge M. Então, para x\ge M,
x^{k} e^{-x} \le e^{-x/2}.
Integrando em [M,\infty) obtemos
\int_{M}^{\infty} x^{k} e^{-x}\,dx \le \int_{M}^{\infty} e^{-x/2}\,dx.
E a integral do lado direito é simples e finita:
\int_{M}^{\infty} e^{-x/2}\,dx = \left[-2 e^{-x/2}\right]_{M}^{\infty} = 2 e^{-M/2} <\infty.

Passo 6

Juntando as partes: a integral em [1,M] é finita (continuidade) e a integral em [M,\infty) é finita pela comparação com e^{-x/2}. Logo
\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{-x}\,dx <\infty.
Portanto, usando o critério da integral (já que f(x)=x^{k}e^{-x} é positiva e decrescente a partir de um N), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} e^{-n}
converge. (Observação: a mesma conclusão vale para qualquer k\in\mathbb{R}.)

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{k} e^{-n} é convergente.

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