Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
\sum \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma, caso convergente, da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right).
Informações dadas que vou usar:
  • A soma é uma série infinita com termos \ln\!\left(\dfrac{n}{n+1}\right) indexados por n=1,2,3,\dots.
  • Tenho que decidir se a série converge (tem soma finita) e, se houver soma, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, recordar uma identidade básica dos logaritmos que é essencial aqui:
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b,
para a>0 e b>0. Isso nos permite escrever cada termo da série de forma a revelar cancelamentos entre termos vizinhos.
Aplicando essa identidade ao termo geral, obtemos
\ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1).

Passo 3

Agora defino a soma parcial S_N (soma dos primeiros N termos). A ideia é ver o que acontece quando N cresce:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{N}\bigl(\ln n-\ln(n+1)\bigr).
Escrevendo os primeiros termos explicitamente fica claro o padrão de cancelamento:
S_N=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln N-\ln(N+1)).

Passo 4

Observe o cancelamento telescópico: \ln 2 aparece com sinal negativo no primeiro parêntese e com sinal positivo no segundo, e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Logo
S_N=\ln 1-\ln(N+1).
Como \ln 1=0, simplificamos para
S_N=-\ln(N+1).

Passo 5

Para a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n convergir é necessário e suficiente que a sequência das somas parciais (S_N) tenha limite finito quando N\to\infty. Aqui temos
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty} \bigl(-\ln(N+1)\bigr).
Como \ln(N+1)\to\infty quando N\to\infty, segue que
\lim_{N\to\infty} S_N=-\infty.
Portanto as somas parciais não tendem a um número finito: a série diverge, de forma que não há soma finita.

Passo 6

(Fato alternativo e intuitivo) Exponenciando S_N obtém-se o produto telescópico correspondente:
e^{S_N}=\prod_{n=1}^{N}\frac{n}{n+1}=\frac{1}{N+1},
o que também mostra que S_N=\ln\!\left(\dfrac{1}{N+1}\right)=-\ln(N+1)\to-\infty. Mesmo raciocínio, mesma conclusão.

Resposta

A série diverge; as somas parciais são S_N=-\ln(N+1) e S_N\to-\infty quando N\to\infty.

Exercícios relacionados