Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma, caso convergente, da série
Informações dadas que vou usar:
- A soma é uma série infinita com termos
indexados por . - Tenho que decidir se a série converge (tem soma finita) e, se houver soma, calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, recordar uma identidade básica dos logaritmos que é essencial aqui:
para
e
. Isso nos permite escrever cada termo da série de forma a revelar cancelamentos entre termos vizinhos.
Aplicando essa identidade ao termo geral, obtemos
Passo 3
Agora defino a soma parcial
(soma dos primeiros
termos). A ideia é ver o que acontece quando
cresce:
Escrevendo os primeiros termos explicitamente fica claro o padrão de cancelamento:
Passo 4
Observe o cancelamento telescópico:
aparece com sinal negativo no primeiro parêntese e com sinal positivo no segundo, e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Logo
Como
, simplificamos para
Passo 5
Para a série
convergir é necessário e suficiente que a sequência das somas parciais
tenha limite finito quando
. Aqui temos
Como
quando
, segue que
Portanto as somas parciais não tendem a um número finito: a série diverge, de forma que não há soma finita.
Passo 6
(Fato alternativo e intuitivo) Exponenciando
obtém-se o produto telescópico correspondente:
o que também mostra que
. Mesmo raciocínio, mesma conclusão.
Resposta
A série diverge; as somas parciais são
e
quando
.