Mostre, usando a definição, que são válidos os seguintes limites:
\lim \frac{2 n}{n^{2}+1}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, usando a definição de limite para sequências, que
\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n^{2}+1}=0.
Informações dadas: a sequência é a_n=\dfrac{2n}{n^{2}+1} para n\in\mathbb{N}. A tarefa é provar que, segundo a definição ε– N, os termos a_n ficam arbitrariamente próximos de 0 quando n é suficientemente grande.

Passo 2

Vou lembrar a definição que precisamos usar (em palavras e fórmula): dizer que \lim_{n\to\infty}a_n=0 significa que
para todo \epsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\lvert a_n-0\rvert<\epsilon.
Aqui \epsilon é um número positivo arbitrário que representa o quão perto queremos que a_n esteja de 0, e N é um índice natural que depende de \epsilon. A prova consiste em, dado um \epsilon>0, encontrar um N que garanta a desigualdade acima.

Passo 3

Começamos manipulando o termo geral e estimando-o por algo mais simples. Primeiro escrevemos o valor absoluto:
\left\lvert \frac{2n}{n^{2}+1}\right\rvert=\frac{2n}{n^{2}+1},
porque para n\in\mathbb{N} o numerador e o denominador são positivos, então o quociente é positivo. Agora fazemos uma desigualdade útil: para todo n\ge 1 temos n^{2}+1\ge n^{2}. Portanto
\frac{2n}{n^{2}+1}\le \frac{2n}{n^{2}}=\frac{2}{n}.
Logo obtemos o majorante simples
\left\lvert \frac{2n}{n^{2}+1}\right\rvert \le \frac{2}{n}.

Passo 4

Queremos tornar \left\lvert \dfrac{2n}{n^{2}+1}\right\rvert<\epsilon. Pelo majorante, é suficiente garantir
\frac{2}{n}<\epsilon.
Resolvendo essa desigualdade para n obtemos
n>\frac{2}{\epsilon}.

Passo 5

Agora formalizamos a escolha de N. Dado um \epsilon>0, tome
N=\left\lceil \frac{2}{\epsilon}\right\rceil,
ou, para garantir N\ge 1, podemos tomar N=\max\left\{1,\left\lceil \dfrac{2}{\epsilon}\right\rceil\right\}. Com essa escolha temos N\in\mathbb{N} e N\ge \dfrac{2}{\epsilon}. Então, para todo n\ge N vale n\ge N\ge \dfrac{2}{\epsilon}, e portanto
\frac{2}{n}\le \frac{2}{N}\le \epsilon.
Usando o majorante do Passo 3 obtemos, para todo n\ge N,
\left\lvert \frac{2n}{n^{2}+1}\right\rvert \le \frac{2}{n}\le \epsilon.
Isso mostra exatamente que, dado qualquer \epsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos \lvert a_n-0\rvert<\epsilon. Portanto a definição de limite é satisfeita.

Passo 6

Concluímos que \dfrac{2n}{n^{2}+1} converge para 0 quando n\to\infty, provado diretamente pela definição ε– N.

Resposta

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