Mostre, usando a definição, que são válidos os seguintes limites: \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição clássica de limite de sequência, que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Informações dadas que vamos usar: a sequência é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.\n
O que precisamos provar: para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-0|<\varepsilon.\n
Passo 2
Vou escrever a definição de limite que vamos usar e explicar cada peça dela.\n
Definição (epsilon–N): dizer que \lim_{n\to\infty} a_n = L significa que para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, sempre que n\ge N, temos
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é qualquer precisão positiva que eu escolher; N é um índice (inteiro) que pode depender de \varepsilon. O objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir um N que funcione.\n
Passo 3
Aplicamos a definição ao nosso caso. Temos L=0 e a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Primeiro simplifico a expressão que preciso controlar:
Queremos garantir \dfrac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon. Vou resolver essa desigualdade em termos de n, lembrando que \varepsilon>0 e \sqrt{n}>0 para n\ge1.\n
Passo 4
Resolvendo passo a passo a desigualdade \dfrac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon:\n
Como ambos os lados são positivos, posso inverter e obter
onde \lceil x\rceil é o teto de x (o menor inteiro \ge x). Essa escolha garante N>\dfrac{1}{\varepsilon^{2}}.\n
Agora verifico a condição da definição: se n\ge N então n\ge N> \dfrac{1}{\varepsilon^{2}}, logo n>\dfrac{1}{\varepsilon^{2}}. Pelos passos do Passo 4 isso implica \dfrac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon. Assim, para esse N e para todo n\ge N temos
\left|\frac{1}{\sqrt{n}}-0\right|<\varepsilon,
o que é exatamente a condição exigida pela definição de limite.\n
Passo 6
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: se escolho \varepsilon=0{,}1 então \dfrac{1}{\varepsilon^{2}}=100. Com a minha regra N=\lceil100\rceil+1=101. De fato, para todo n\ge101 temos 1/\sqrt{n}\le 1/\sqrt{101}<0{,}1, como esperado.\n
Pronto — mostrei explicitamente, a partir da definição, como escolher N em função de \varepsilon e verifiquei a desigualdade.\n