Mostre, usando a definição, que são válidos os seguintes limites:
\lim 3-\frac{3}{2^{n}}=3.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, usando a definição (épsilon– N), que a sequência
a_{n}=3-\frac{3}{2^{n}}
converge para 3. Ou seja, devo provar que
\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{3}{2^{n}}\right)=3.
Informações dadas e o que vou usar: a expressão da sequência a_{n} acima e a definição de limite para sequência (forma épsilon– N). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Recordando a definição que vou usar (vou explicar cada símbolo): dizer que \lim_{n\to\infty} a_{n}=L significa:
\text{para todo }\epsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_{n}-L|<\epsilon.
Aqui:
  • \epsilon é um número positivo arbitrário que representa a tolerância (quão perto queremos ficar do limite);
  • N é um natural que depende de \epsilon (ou seja, para cada \epsilon escolhemos um N);
  • a condição |a_{n}-L|<\epsilon deve valer para todos os n maiores ou iguais a esse N.
    Meu objetivo é, dado qualquer \epsilon>0, encontrar um N que satisfaça essa condição com L=3.

Passo 3

Calculo a diferença entre o termo da sequência e o candidato a limite:
\left|a_{n}-3\right|=\left|3-\frac{3}{2^{n}}-3\right|=\left|-\frac{3}{2^{n}}\right|.
Como o módulo de um número negativo é o seu positivo, isso dá
\left|a_{n}-3\right|=\frac{3}{2^{n}}.
Portanto a condição |a_{n}-3|<\epsilon equivale a
\frac{3}{2^{n}}<\epsilon.

Passo 4

Agora resolvo a desigualdade \frac{3}{2^{n}}<\epsilon. Multiplicando ambos os lados por 2^{n} (positivo) e dividindo por \epsilon (também positivo), obtenho a condição equivalente
2^{n}>\frac{3}{\epsilon}.
Queremos um inteiro N tal que, sempre que n\ge N, tenha-se 2^{n}>\frac{3}{\epsilon}. Uma maneira direta de garantir isso é escolher
N=\left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{3}{\epsilon}\right)\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Justificação: se N\ge \log_{2}\!\left(\frac{3}{\epsilon}\right) então 2^{N}\ge 2^{\log_{2}(3/\epsilon)}=\frac{3}{\epsilon}; tomando a parte inteira superior (teto) garante 2^{N}>\frac{3}{\epsilon} ou pelo menos \ge, e para todos n\ge N temos 2^{n}\ge 2^{N}>\frac{3}{\epsilon}. (Alternativamente, posso observar que 2^{n}\to\infty quando n\to\infty, logo existe algum N com 2^{N}>\tfrac{3}{\epsilon}.)

Passo 5

Com a escolha acima de N, para todo n\ge N vale
2^{n}>\frac{3}{\epsilon}\quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2^{n}}<\epsilon.
Voltando à expressão dos módulos, isso é exatamente
\left|a_{n}-3\right|=\frac{3}{2^{n}}<\epsilon
para todo n\ge N. Assim, para qualquer \epsilon>0 encontramos um N (dependente de \epsilon) que satisfaz a definição épsilon– N. Portanto a sequência converge para 3.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se \epsilon=0,01, então \tfrac{3}{\epsilon}=300. Sabemos que 2^{8}=256<300 e 2^{9}=512>300, logo podemos escolher N=9. Para todo n\ge 9 teremos \left|a_{n}-3\right|=\tfrac{3}{2^{n}}\le\tfrac{3}{2^{9}}<0,01.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{3}{2^{n}}\right)=3

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