Mostre, usando os resultados anteriores, que o operador Hamiltoniano (da energia total), pode ser escrito :
H=\sum_{k} \hbar \Omega(k)\left(b_{k}^{+} b_{k}+1 / 2\right)
onde
\Omega(k)=\Omega(-k)=2 \eta / \frac{\bar{\gamma}}{m}\left|\operatorname{sen} \frac{(k a)}{2}\right| .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão.
  • Pede: mostrar que o hamiltoniano quântico do reticulado (energia total) pode ser escrito
H=\sum_{k}\hbar\Omega(k)\Big(b_{k}^{\dagger}b_{k}+\tfrac{1}{2}\Big),
e que
\Omega(k)=\Omega(-k)=2\sqrt{\dfrac{\eta}{m}}\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big|.
  • Informações que usamos (resultados padrão anteriores; estão sendo invocados sem pedir nada ao leitor):
    • Hamiltoniano clássico do modelo de cadeia unidimensional de massas m ligadas por molas de constante \eta:
    H=\sum_{n}\left(\dfrac{p_{n}^{2}}{2m}+\dfrac{\eta}{2}(u_{n+1}-u_{n})^{2}\right),onde u_{n} é o deslocamento da massa n e p_{n} o momento conjugado.
    • Transformada de Fourier (normal coordinates) com N sítios e passo de rede a:
    u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}Q_{k}e^{ikna},\qquad p_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}P_{k}e^{-ikna}.
    • Quantização canônica: [u_{n},p_{n'}]=i\hbar\delta_{nn'} implica
    [Q_{k},P_{k'}]=i\hbar\delta_{kk'}.
    • Objetivo: passar H para os modos k, identificar frequências \Omega(k) e introduzir operadores de aniquilação/ criação b_{k},b_{k}^{\dagger} que diagonalizam H.

Passo 2

Transformar o termo cinético para modos k.
Começando pelo termo cinético:
\sum_{n}\dfrac{p_{n}^{2}}{2m}=\dfrac{1}{2m}\sum_{n}p_{n}p_{n}.
Substituindo p_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}P_{k}e^{-ikna} obtemos
\sum_{n}\dfrac{p_{n}^{2}}{2m} =\dfrac{1}{2m}\sum_{n}\dfrac{1}{N}\sum_{k,k'}P_{k}P_{k'}e^{-i(k+k')na}.
A soma em n produz N\delta_{k',-k}, então
\sum_{n}\dfrac{p_{n}^{2}}{2m}=\dfrac{1}{2m}\sum_{k}P_{k}P_{-k}.
Isso é uma forma padrão: o cinético fica somatório sobre modos com produto P_{k}P_{-k}.

Passo 3

Transformar o termo potencial para modos k e extrair a dependência em k.
O termo potencial é
\sum_{n}\dfrac{\eta}{2}(u_{n+1}-u_{n})^{2}.
Substituindo u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}Q_{k}e^{ikna}:
u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}Q_{k}e^{ikna}(e^{ika}-1).
Então
\sum_{n}\dfrac{\eta}{2}(u_{n+1}-u_{n})^{2} =\dfrac{\eta}{2}\sum_{n}\dfrac{1}{N}\sum_{k,k'}Q_{k}Q_{k'}(e^{ika}-1)(e^{ik'a}-1)e^{i(k+k')na}.
Somando em n e usando a mesma identidade de delta resulta
\sum_{n}\dfrac{\eta}{2}(u_{n+1}-u_{n})^{2} =\dfrac{\eta}{2}\sum_{k}Q_{k}Q_{-k}|e^{ika}-1|^{2}.
Agora calcular o módulo:
|e^{ika}-1|^{2}=(e^{ika}-1)(e^{-ika}-1)=2- e^{ika}-e^{-ika}=2(1-\cos ka).
Usando a identidade trigonométrica 1-\cos ka=2\sin^{2}\!\tfrac{ka}{2} obtemos
|e^{ika}-1|^{2}=4\sin^{2}\!\frac{ka}{2}.
Portanto o termo potencial fica
\sum_{n}\dfrac{\eta}{2}(u_{n+1}-u_{n})^{2} =\dfrac{\eta}{2}\sum_{k}Q_{k}Q_{-k}\,4\sin^{2}\!\frac{ka}{2} =2\eta\sum_{k}Q_{k}Q_{-k}\sin^{2}\!\frac{ka}{2}.

Passo 4

Escrever H em termos de Q_{k} e P_{k} e identificar \Omega(k).
Com os resultados dos passos anteriores:
H=\dfrac{1}{2}\sum_{k}\left(\dfrac{1}{m}P_{k}P_{-k}+4\dfrac{\eta}{m}\,m\,Q_{k}Q_{-k}\sin^{2}\!\frac{ka}{2}\right).
Reescrevendo de forma padrão (colocando o fator m de modo que apareça uma forma harmônica),
é conveniente definir a frequência quadrática do modo k por
\Omega^{2}(k)\equiv \dfrac{4\eta}{m}\sin^{2}\!\frac{ka}{2}.
Assim o hamiltoniano nos modos fica
H=\dfrac{1}{2}\sum_{k}\left(\dfrac{1}{m}P_{k}P_{-k}+m\Omega^{2}(k)\,Q_{k}Q_{-k}\right).
Da definição acima segue imediatamente
\Omega(k)=2\sqrt{\dfrac{\eta}{m}}\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big|
e com a familiar simetria \Omega(k)=\Omega(-k) (porque \sin^{2} é par).

Passo 5

Introduzir operadores de aniquilação e criação b_{k},b_{k}^{\dagger}.
Definir, modo a modo, os operadores adimensionais
b_{k}=\sqrt{\dfrac{m\Omega(k)}{2\hbar}}\,Q_{k}+\dfrac{i}{\sqrt{2m\hbar\Omega(k)}}\,P_{-k},
b_{k}^{\dagger}=\sqrt{\dfrac{m\Omega(k)}{2\hbar}}\,Q_{-k}-\dfrac{i}{\sqrt{2m\hbar\Omega(k)}}\,P_{k}.
Essas definições são escolhidas para que eles satisfaçam as comutações bosônicas padrão
[b_{k},b_{k'}^{\dagger}]=\delta_{kk'},\qquad [b_{k},b_{k'}]=0.
Também podemos inverter para Q_{k} e P_{k} (fórmulas úteis para substituição):
Q_{k}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\Omega(k)}}\,(b_{k}+b_{-k}^{\dagger}),
P_{k}=-i\sqrt{\dfrac{\hbar m\Omega(k)}{2}}\,(b_{k}-b_{-k}^{\dagger}).

Passo 6

Substituir Q_{k} e P_{k} no hamiltoniano e simplificar para a forma diagonal.
Substituindo as expressões invertidas em
H=\dfrac{1}{2}\sum_{k}\left(\dfrac{1}{m}P_{k}P_{-k}+m\Omega^{2}(k)\,Q_{k}Q_{-k}\right)
e usando as relações de comutação e identidade algébricas (agrupando termos em b_{k}^{\dagger}b_{k}, b_{k}b_{-k} etc.), os termos não diagonais se cancelam e sobra a forma conhecida de osciladores harmônicos independentes:
H=\sum_{k}\hbar\Omega(k)\Big(b_{k}^{\dagger}b_{k}+\tfrac{1}{2}\Big).
A conta explícita consiste em substituir, expandir e usar
[b_{k},b_{k}^{\dagger}]=1 para levar os termos de ordem zero a \tfrac{1}{2}\hbar\Omega(k) por modo. Essa é a mesma diagonalização padrão de um conjunto de modos harmônicos independentes.

Passo 7

Resumo físico e checagem da expressão de \Omega(k).
  • A frequência de dispersão obtida é
\Omega(k)=2\sqrt{\dfrac{\eta}{m}}\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big|,
que é par em k: \Omega(k)=\Omega(-k). Para ka\ll1 recupera-se o regime acústico linear \Omega(k)\approx a\sqrt{\eta/m}\,|k|.
  • Assim o hamiltoniano quântico fica diagonal nos operadores b_{k},b_{k}^{\dagger} com cada modo k equivalente a um oscilador harmônico de energia base \tfrac{1}{2}\hbar\Omega(k) e níveis \hbar\Omega(k)n_{k}.

Resposta

H=\sum_{k}\hbar\Omega(k)\Big(b_{k}^{\dagger}b_{k}+\tfrac{1}{2}\Big)
\Omega(k)=\Omega(-k)=2\sqrt{\dfrac{\eta}{m}}\Big|\sin\frac{ka}{2}\Big|

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