Objetivo: passar H para os modos k, identificar frequências \Omega(k) e introduzir operadores de aniquilação/ criação b_{k},b_{k}^{\dagger} que diagonalizam H.
Reescrevendo de forma padrão (colocando o fator m de modo que apareça uma forma harmônica),
é conveniente definir a frequência quadrática do modo k por
e usando as relações de comutação e identidade algébricas (agrupando termos em b_{k}^{\dagger}b_{k}, b_{k}b_{-k} etc.), os termos não diagonais se cancelam e sobra a forma conhecida de osciladores harmônicos independentes:
A conta explícita consiste em substituir, expandir e usar [b_{k},b_{k}^{\dagger}]=1 para levar os termos de ordem zero a \tfrac{1}{2}\hbar\Omega(k) por modo. Essa é a mesma diagonalização padrão de um conjunto de modos harmônicos independentes.
Passo 7
Resumo físico e checagem da expressão de \Omega(k).
que é par em k: \Omega(k)=\Omega(-k). Para ka\ll1 recupera-se o regime acústico linear \Omega(k)\approx a\sqrt{\eta/m}\,|k|.
Assim o hamiltoniano quântico fica diagonal nos operadores b_{k},b_{k}^{\dagger} com cada modo k equivalente a um oscilador harmônico de energia base \tfrac{1}{2}\hbar\Omega(k) e níveis \hbar\Omega(k)n_{k}.