Mostre, usando os resultados vistos em sala que:
\lim \frac{\sin (n)}{n}=0

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n}=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado ou válidas para todos n\in\mathbb{N}:
-1\le \sin(x)\le 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
portanto, em particular,
-1\le \sin(n)\le 1\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Também sabemos que a sequência \left(\frac{1}{n}\right)_{n\ge1} tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem calcular ainda): vamos usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem) para sequências. Vou explicar o teorema de forma simples: se para todo n suficientemente grande temos
b_n\le a_n\le c_n
e se
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L,
então também
\lim_{n\to\infty}a_n=L.
A ideia é que a_n fica “apertado” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então a_n necessariamente tem o mesmo limite. Vamos aplicar esse teorema com a_n=\dfrac{\sin(n)}{n}.

Passo 3

Usamos a desigualdade -1\le \sin(n)\le 1 e dividimos tudo por n. Como n>0 para todo n\in\mathbb{N}, a divisão por n preserva a ordem das desigualdades. Assim obtemos, para todo n\ge1,
-\frac{1}{n}\le \frac{\sin(n)}{n}\le \frac{1}{n}.
Aqui escolhemos as sequências de comparação b_n=-\dfrac{1}{n} e c_n=\dfrac{1}{n}.

Passo 4

Agora mostramos que as sequências de comparação têm limite 0. Primeiro para \dfrac{1}{n}: dado qualquer \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então para todo n\ge N temos
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon,
o que prova que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Para -\dfrac{1}{n} basta notar que é o negativo de \dfrac{1}{n}, logo
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)= -\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}= -0 = 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades obtidas no Passo 3 e aos limites do Passo 4, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n}=0.
Intuição rápida: \sin(n) nunca passa de 1 em módulo, enquanto n cresce sem limite; então o quociente tem que encolher até zero.

Resposta

0

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