Mostre, usando os resultados vistos em sala que:
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que
Informações relevantes dadas pelo enunciado ou válidas para todos
:
portanto, em particular,
Também sabemos que a sequência
tende a
quando
.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem calcular ainda): vamos usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem) para sequências. Vou explicar o teorema de forma simples: se para todo
suficientemente grande temos
e se
então também
A ideia é que
fica “apertado” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então
necessariamente tem o mesmo limite. Vamos aplicar esse teorema com
.
Passo 3
Usamos a desigualdade
e dividimos tudo por
. Como
para todo
, a divisão por
preserva a ordem das desigualdades. Assim obtemos, para todo
,
Aqui escolhemos as sequências de comparação
e
.
Passo 4
Agora mostramos que as sequências de comparação têm limite
. Primeiro para
: dado qualquer
, escolha
tal que
. Então para todo
temos
o que prova que
Para
basta notar que é o negativo de
, logo
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades obtidas no Passo 3 e aos limites do Passo 4, concluímos que
Intuição rápida:
nunca passa de
em módulo, enquanto
cresce sem limite; então o quociente tem que encolher até zero.