Sejam
e
sequências de números reais. Suponha que
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências reais
e
e pede para provar uma afirmação sobre o limite de
. As informações que temos são:
e
A pergunta é: mostrar que
.
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite de sequência no caso especial de limite igual a zero (isso é crucial para uma prova rigorosa): dizer que
significa exatamente que
Como
, isso equivale a
Essa é a ferramenta que vamos usar: a definição é um "para todo
existe
" que garante que a sequência fica arbitrariamente próxima de zero a partir de um certo índice.
Passo 3
Agora aplico diretamente a definição ao dado
. Fixe um
qualquer. Pela definição, existe
tal que
Escrevi isso para deixar claro que
pode depender de
, como sempre na definição.
Passo 4
Usando a desigualdade fornecida pelo enunciado,
para todo
, combinamos com o resultado do passo anterior: para
temos
Portanto, a partir do mesmo índice
(que veio da convergência de
), também garantimos que
.
Passo 5
Agora fechamos o raciocínio com a definição de limite: mostramos que para o
que escolhemos existe
tal que, para todo
,
. Isso é precisamente a definição de
Logo,
converge para
.
Um comentário intuitivo e um exemplo concreto para fixar a ideia: a desigualdade
significa que os termos de
ficam sempre “dentro” da faixa dada por
. Se
vai a zero, essa faixa encolhe até ficar muito pequena, e como
está dentro dela,
é forçado a ir a zero também. Exemplo: tome
(então
) e
. Aqui
, logo
também.
Outra forma de ver (mais compacta) é usar o teorema do confronto (squeeze): de
segue
. Como
, as duas sequências
e
tendem a
; pelo confronto temos
.
É a mesma ideia, só que expressa com o nome do teorema.
Passo 6
Resumo prático para a prova: dado
, pegue
tal que
para
(existência garantida por
). Então para
temos
. Concluímos que
. Vai com calma na prova — essa é uma demonstração curta e direta, e vale bastante.