Sejam \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) sequências de números reais. Suponha que \lim x_{n}=0 e \left|y_{n}\right| \leq\left|x_{n}\right|, \forall n \in \mathbb{N}. Mostre que \lim y_{n}=0.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências reais \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) e pede para provar uma afirmação sobre o limite de \left(y_{n}\right). As informações que temos são:
\lim x_{n}=0
e
\left|y_{n}\right| \leq \left|x_{n}\right|,\quad \forall n \in \mathbb{N}.
A pergunta é: mostrar que \lim y_{n}=0.

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite de sequência no caso especial de limite igual a zero (isso é crucial para uma prova rigorosa): dizer que \lim x_{n}=0 significa exatamente que
\text{para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } N\in\mathbb{N} \text{ tal que, para todo } n\ge N,\; |x_n-0|<\varepsilon.
Como x_n-0=x_n, isso equivale a
\text{para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } N\in\mathbb{N} \text{ tal que, para todo } n\ge N,\; |x_n|<\varepsilon.
Essa é a ferramenta que vamos usar: a definição é um "para todo \varepsilon existe N" que garante que a sequência fica arbitrariamente próxima de zero a partir de um certo índice.

Passo 3

Agora aplico diretamente a definição ao dado \lim x_{n}=0. Fixe um \varepsilon>0 qualquer. Pela definição, existe N\in\mathbb{N} tal que
\text{se } n\ge N \text{ então } |x_n|<\varepsilon.ã
Escrevi isso para deixar claro que N pode depender de \varepsilon, como sempre na definição.

Passo 4

Usando a desigualdade fornecida pelo enunciado, |y_n|\le |x_n| para todo n, combinamos com o resultado do passo anterior: para n\ge N temos
|y_n| \le |x_n| < \varepsilon.
Portanto, a partir do mesmo índice N (que veio da convergência de \left(x_n\right)), também garantimos que |y_n|<\varepsilon.

Passo 5

Agora fechamos o raciocínio com a definição de limite: mostramos que para o \varepsilon>0 que escolhemos existe N tal que, para todo n\ge N, |y_n|<\varepsilon. Isso é precisamente a definição de
\lim y_n = 0.
Logo, \left(y_n\right) converge para 0.
Um comentário intuitivo e um exemplo concreto para fixar a ideia: a desigualdade |y_n|\le |x_n| significa que os termos de \left(y_n\right) ficam sempre “dentro” da faixa dada por \pm |x_n|. Se |x_n| vai a zero, essa faixa encolhe até ficar muito pequena, e como |y_n| está dentro dela, |y_n| é forçado a ir a zero também. Exemplo: tome x_n=\dfrac{1}{n} (então \lim x_n=0) e y_n=\dfrac{(-1)^n}{n}. Aqui |y_n|=\dfrac{1}{n}=|x_n|, logo \lim y_n=0 também.
Outra forma de ver (mais compacta) é usar o teorema do confronto (squeeze): de |y_n|\le |x_n| segue -|x_n|\le y_n\le |x_n|. Como |x_n|\to 0, as duas sequências -|x_n| e |x_n| tendem a 0; pelo confronto temos y_n\to 0.
É a mesma ideia, só que expressa com o nome do teorema.

Passo 6

Resumo prático para a prova: dado \varepsilon>0, pegue N tal que |x_n|<\varepsilon para n\ge N (existência garantida por \lim x_n=0). Então para n\ge N temos |y_n|\le |x_n|<\varepsilon. Concluímos que \lim y_n=0. Vai com calma na prova — essa é uma demonstração curta e direta, e vale bastante.

Resposta

\lim y_{n}=0

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