Mostre, usando os resultados vistos em sala que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações dadas e que podemos usar:
Também sabemos, por propriedades da função cosseno, que para todo número real
vale
A meta é provar formalmente que a sequência
diverge para
, ou seja, que para todo
existe
tal que, para todo
,
.
Passo 2
Definição (explicada de forma simples): dizer que
significa que para todo número real
existe um índice natural
tal que, sempre que
, temos
. Em palavras: os termos da sequência ficam maiores que qualquer limite
que eu escolha, desde que eu olhe índices
suficientemente grandes.
Passo 3
Usamos a desigualdade conhecida da função cosseno. Para todo
real (e portanto para todo
),
Essa desigualdade vem da definição geométrica/analítica do cosseno (valor máximo
e mínimo
no círculo trigonométrico). É uma informação básica e que podemos usar diretamente.
Passo 4
A partir de
somamos
em todas as partes da desigualdade para obter uma desigualdade envolvendo
:
Em notação, isso é
Essa desigualdade é útil porque nos dá um limite inferior simples (
) para
.
Passo 5
Mostramos que a sequência
tende a
. Prova direta: dado qualquer
, escolha
ou qualquer inteiro
tal que
. Então, para todo
temos
Logo
fica maior que
para
suficientemente grande, o que é exatamente a definição de
.
Passo 6
Usamos um princípio de comparação simples: se uma sequência
tende a
e
para todo
, então
. Aplicando isso aqui: já vimos que
e que
para todo
. Portanto, por comparação,