Mostre, usando os resultados vistos em sala que:
\lim [n+\cos (n)]=\infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty} \bigl(n+\cos n\bigr)=\infty.
Informações dadas e que podemos usar:
a_n = n+\cos n,\quad n\in\mathbb{N}.
Também sabemos, por propriedades da função cosseno, que para todo número real x vale
-1\le \cos x\le 1.
A meta é provar formalmente que a sequência \bigl(a_n\bigr) diverge para +\infty, ou seja, que para todo M>0 existe N tal que, para todo n\ge N, a_n>M.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): dizer que
\lim_{n\to\infty} a_n = \infty
significa que para todo número real M>0 existe um índice natural N tal que, sempre que n\ge N, temos a_n>M. Em palavras: os termos da sequência ficam maiores que qualquer limite M que eu escolha, desde que eu olhe índices n suficientemente grandes.

Passo 3

Usamos a desigualdade conhecida da função cosseno. Para todo n real (e portanto para todo n\in\mathbb{N}),
-1\le \cos n\le 1.
Essa desigualdade vem da definição geométrica/analítica do cosseno (valor máximo 1 e mínimo -1 no círculo trigonométrico). É uma informação básica e que podemos usar diretamente.

Passo 4

A partir de -1\le \cos n\le 1 somamos n em todas as partes da desigualdade para obter uma desigualdade envolvendo a_n:
n-1 \le n+\cos n \le n+1.
Em notação, isso é
n-1 \le a_n \le n+1.
Essa desigualdade é útil porque nos dá um limite inferior simples ( n-1) para a_n.

Passo 5

Mostramos que a sequência b_n = n-1 tende a +\infty. Prova direta: dado qualquer M>0, escolha
N = \lceil M+1\rceil,
ou qualquer inteiro N tal que N> M+1. Então, para todo n\ge N temos
n-1 \ge N-1 > M.
Logo n-1 fica maior que M para n suficientemente grande, o que é exatamente a definição de n-1\to\infty.

Passo 6

Usamos um princípio de comparação simples: se uma sequência b_n tende a +\infty e b_n\le a_n para todo n, então a_n\to\infty. Aplicando isso aqui: já vimos que b_n=n-1\to\infty e que n-1\le a_n para todo n. Portanto, por comparação,
\lim_{n\to\infty} a_n = \infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} \bigl(n+\cos n\bigr)=\infty

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