Mostre usando simetrias que
\int_{-1}^{1} \frac{\tan x}{1+x^{2}+x^{4}} d x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1} \frac{\tan x}{1+x^{2}+x^{4}}\,dx
usando simetrias de funções pares e ímpares. Vamos usar que a integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.

Passo 2

Mostramos que o denominador
g(x)=1+x^{2}+x^{4}
é uma função par, pois
g(-x)=1+(-x)^{2}+(-x)^{4}=1+x^{2}+x^{4}=g(x).

Passo 3

Verificamos que o numerador \tan x é uma função ímpar, pois
\tan(-x)=-\tan x.

Passo 4

A razão
f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}+x^{4}}
é então a divisão de uma função ímpar por uma função par, resultando em uma função ímpar. De fato,
f(-x)=\frac{\tan(-x)}{1+(-x)^{2}+(-x)^{4}} =\frac{-\tan x}{1+x^{2}+x^{4}}=-f(x).

Passo 5

Como f(x) é ímpar e o intervalo de integração [-1,1] é simétrico, vale a propriedade
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0.

Resposta

0

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