Considere as funções
a) Calcule
e
, se existirem.
b) A função
é continua em 1? Justifique.
c) A função
é continua em 0? Justifique.
b) A função
c) A função
Passo 1
O enunciado dá duas funções por partes e pede três coisas:
- A função
- A função (g] é definida por
As perguntas são:
(a) Calcular e
, quando existirem.
(b) Determinar se é contínua em
, com justificativa.
(c) Determinar se é contínua em
, com justificativa.
(a) Calcular
(b) Determinar se
(c) Determinar se
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para
, a expressão racional vale apenas quando ; em a função vale . - Para
, o ramo esquerdo é (quando ) e o ramo direito é (quando ).
Vou usar limites (incluindo limites laterais) e a definição usual de continuidade: uma função
é contínua em
se
existe e é igual a
.]
Passo 2
Calcular
— ideia e técnica usada.
Explicação didática curta: quando temos uma expressão racional que dá problema num ponto (aqui
provoca divisão por zero no ramo
), muitas vezes o numerador e o denominador têm um fator comum que podemos cancelar para simplificar a expressão para
próximos de
. O limite depende apenas do comportamento de
quando
se aproxima de
por valores diferentes de
; portanto podemos manipular algebricamente a expressão válida para
.
Começo fatorando o numerador
. Para fatorar um polinômio quadrático
procura-se dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui procuramos dois números que somem
e cujo produto seja
; esses números são
e
. Assim:
Passo 3
Aplicar a fatoração para simplificar e obter o limite de
.
Substituindo a fatoração na expressão de
para
,
Como essa expressão vale apenas para
, podemos cancelar o fator comum
(cancelamento válido para
) e obter a função simplificada para
:
Agora o limite quando
é o limite da função
quando
. Para funções polinomiais (como
) os limites são obtidos simplesmente substituindo
pelo ponto:
Portanto
.
Observação didática: embora
esteja definido separadamente, o limite considera apenas valores de
diferentes de
que se aproximam de
; por isso usamos a expressão simplificada
.
Passo 4
Calcular
— uso de limites laterais e propriedades.
Explicação didática: quando a função é definida por partes com uma mudança em
, para que
exista é necessário que os dois limites laterais coincidam:
Se esses dois valores forem iguais, esse será o valor de
. Caso contrário, o limite não existe.
Calculo o limite pela esquerda (
), usando o ramo
válido para
:
Funções polinomiais são contínuas, então esse limite é simplesmente a substituição
:
Calculo o limite pela direita (
), usando o ramo
válido para
:
A função exponencial
é contínua em todo lugar, logo o limite é a substituição
:
Como
e
, os limites laterais são diferentes. Portanto o limite bilateral
não existe.
Passo 5
Verificar a continuidade de
em
.
Definição prática de continuidade em um ponto
:
é contínua em
se (i)
existe e (ii)
.
Para
em
já temos:
-
(Passo 3). - O valor da função no ponto é
(dado no enunciado).
Como
, a condição (ii) falha. Logo
NÃO é contínua em
.
Classificação da descontinuidade (explicação didática): aqui ocorre uma descontinuidade removível (também chamada “buraco”): o limite existe e é finito (é
), mas a função foi definida com outro valor (
). Se redefiníssemos
para
a função ficaria contínua em
.
Passo 6
Verificar a continuidade de
em
.
Aplicando a mesma definição:
- Os limites laterais em
são diferentes ( pela esquerda e pela direita), portanto não existe (Passo 4). - O valor da função no ponto é
(porque pertence ao ramo ).
Como o limite bilateral não existe, a condição (i) da continuidade falha. Logo
NÃO é contínua em
.
Classificação da descontinuidade (explicação didática): trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump): os dois lados têm limites finitos diferentes (
e
). Observação útil:
é contínua à direita em
porque
, mas não é contínua à esquerda.
Resposta
(a)
.
não existe (pois
e
).
(b) não é contínua em
(limite existe e vale
, mas
; descontinuidade removível).
(c) não é contínua em
(limite bilateral não existe; limites laterais são
e
; descontinuidade por salto).
(b)
(c)