Considere as funções f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2}+3 x-4}{x-1}, & \text { se } x \neq 1 \\\\ 3, & \text { se } x=1 .\end{array}\right.\) e \(g(x)= \begin{cases}x^{3}-1, & \text { se } x<0 \\\ e^{x}-1, & \text { se } x \geq 0 \text {. }\end{cases}
a) Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0} g(x), se existirem.
b) A função f é continua em 1? Justifique.
c) A função g é continua em 0? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas funções por partes e pede três coisas:
  • A função f\) é definida por \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}+3x-4}{x-1}, & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] 3, & \text{se } x=1. \end{cases}
  • A função (g] é definida por
    g(x)=\begin{cases} x^{3}-1, & \text{se } x<0,\\[4pt] e^{x}-1, & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
As perguntas são:
(a) Calcular \lim_{x\to 1} f(x) e \lim_{x\to 0} g(x), quando existirem.
(b) Determinar se f é contínua em 1, com justificativa.
(c) Determinar se g é contínua em 0, com justificativa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para f, a expressão racional \dfrac{x^{2}+3x-4}{x-1} vale apenas quando x\neq 1; em x=1 a função vale 3.
  • Para g, o ramo esquerdo é x^{3}-1 (quando x<0) e o ramo direito é e^{x}-1 (quando x\ge 0).
Vou usar limites (incluindo limites laterais) e a definição usual de continuidade: uma função h é contínua em a se \lim_{x\to a} h(x) existe e é igual a h(a).]

Passo 2

Calcular \lim_{x\to 1} f(x) — ideia e técnica usada.
Explicação didática curta: quando temos uma expressão racional que dá problema num ponto (aqui x=1 provoca divisão por zero no ramo x\neq 1), muitas vezes o numerador e o denominador têm um fator comum que podemos cancelar para simplificar a expressão para x próximos de 1. O limite depende apenas do comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1 por valores diferentes de 1; portanto podemos manipular algebricamente a expressão válida para x\neq 1.
Começo fatorando o numerador \,x^{2}+3x-4. Para fatorar um polinômio quadrático x^{2}+bx+c procura-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui procuramos dois números que somem 3 e cujo produto seja -4; esses números são 4 e -1. Assim:
x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4).

Passo 3

Aplicar a fatoração para simplificar e obter o limite de f.
Substituindo a fatoração na expressão de f para x\neq 1,
\frac{x^{2}+3x-4}{x-1}=\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}.
Como essa expressão vale apenas para x\neq 1, podemos cancelar o fator comum x-1 (cancelamento válido para x\neq 1) e obter a função simplificada para x\neq 1:
\frac{x^{2}+3x-4}{x-1}=x+4\qquad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
Agora o limite quando x\to 1 é o limite da função x+4 quando x\to 1. Para funções polinomiais (como x+4) os limites são obtidos simplesmente substituindo x pelo ponto:
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (x+4)=1+4=5.
Portanto \lim_{x\to 1} f(x)=5.
Observação didática: embora f(1)=3 esteja definido separadamente, o limite considera apenas valores de x diferentes de 1 que se aproximam de 1; por isso usamos a expressão simplificada x+4.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 0} g(x) — uso de limites laterais e propriedades.
Explicação didática: quando a função é definida por partes com uma mudança em x=0, para que \lim_{x\to 0} g(x) exista é necessário que os dois limites laterais coincidam:
\lim_{x\to 0^-} g(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} g(x).
Se esses dois valores forem iguais, esse será o valor de \lim_{x\to 0} g(x). Caso contrário, o limite não existe.
Calculo o limite pela esquerda ( x\to 0^{-}), usando o ramo g(x)=x^{3}-1 válido para x<0:
\lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-} (x^{3}-1).
Funções polinomiais são contínuas, então esse limite é simplesmente a substituição x=0:
\lim_{x\to 0^-} (x^{3}-1)=0^{3}-1=-1.
Calculo o limite pela direita ( x\to 0^{+}), usando o ramo g(x)=e^{x}-1 válido para x\ge 0:
\lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+} (e^{x}-1).
A função exponencial e^{x} é contínua em todo lugar, logo o limite é a substituição x=0:
\lim_{x\to 0^+} (e^{x}-1)=e^{0}-1=1-1=0.
Como \lim_{x\to 0^-} g(x)=-1 e \lim_{x\to 0^+} g(x)=0, os limites laterais são diferentes. Portanto o limite bilateral
\lim_{x\to 0} g(x)
não existe.

Passo 5

Verificar a continuidade de f em 1.
Definição prática de continuidade em um ponto a: h é contínua em a se (i) \lim_{x\to a} h(x) existe e (ii) \lim_{x\to a} h(x)=h(a).
Para f em a=1 já temos:
  • \lim_{x\to 1} f(x)=5 (Passo 3).
  • O valor da função no ponto é f(1)=3 (dado no enunciado).
Como 5\neq 3, a condição (ii) falha. Logo f NÃO é contínua em 1.
Classificação da descontinuidade (explicação didática): aqui ocorre uma descontinuidade removível (também chamada “buraco”): o limite existe e é finito (é 5), mas a função foi definida com outro valor ( 3). Se redefiníssemos f(1) para 5 a função ficaria contínua em 1.

Passo 6

Verificar a continuidade de g em 0.
Aplicando a mesma definição:
  • Os limites laterais em 0 são diferentes ( -1 pela esquerda e 0 pela direita), portanto \lim_{x\to 0} g(x) não existe (Passo 4).
  • O valor da função no ponto é g(0)=e^{0}-1=0 (porque x=0 pertence ao ramo x\ge 0).
Como o limite bilateral não existe, a condição (i) da continuidade falha. Logo g NÃO é contínua em 0.
Classificação da descontinuidade (explicação didática): trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump): os dois lados têm limites finitos diferentes ( -1 e 0). Observação útil: g é contínua à direita em 0 porque \lim_{x\to 0^+} g(x)=g(0)=0, mas não é contínua à esquerda.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=5. \displaystyle \lim_{x\to 0} g(x) não existe (pois \lim_{x\to 0^-} g(x)=-1 e \lim_{x\to 0^+} g(x)=0).
(b) f não é contínua em 1 (limite existe e vale 5, mas f(1)=3; descontinuidade removível).
(c) g não é contínua em 0 (limite bilateral não existe; limites laterais são -1 e 0; descontinuidade por salto).

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