Mostre que se v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5} gera um espaço vetorial V e se v_{5} é uma combinação linear de v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4}, então \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} ainda geram V.
"Não fiz o melhor, mas fiz tudo para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas não sou o que era antes. "(Martin Luther King).

Passo 1

O enunciado afirma que \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}\} gera o espaço vetorial V e que v_{5} é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}. Nosso objetivo é mostrar que já basta \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} para gerar V. O conteúdo envolvido é o de geradores (span) e combinação linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Pela hipótese de que v_{5} é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}, existem escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4} tais que
v_{5} = \alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} + \alpha_{3}v_{3} + \alpha_{4}v_{4}.

Passo 3

Como \{v_{1},\dots,v_{5}\} gera V, dado qualquer vetor v\in V podemos escrever
v = \beta_{1}v_{1} + \beta_{2}v_{2} + \beta_{3}v_{3} + \beta_{4}v_{4} + \beta_{5}v_{5},
para certos escalares \beta_{1},\dots,\beta_{5}.

Passo 4

Substituindo a expressão de v_{5} em v, obtemos
v = \beta_{1}v_{1} + \beta_{2}v_{2} + \beta_{3}v_{3} + \beta_{4}v_{4} + \beta_{5}\bigl(\alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} + \alpha_{3}v_{3} + \alpha_{4}v_{4}\bigr).
Reagrupando os coeficientes de v_{1},\dots,v_{4}, temos
v = (\beta_{1} + \beta_{5}\alpha_{1})v_{1} + (\beta_{2} + \beta_{5}\alpha_{2})v_{2} + (\beta_{3} + \beta_{5}\alpha_{3})v_{3} + (\beta_{4} + \beta_{5}\alpha_{4})v_{4}.

Passo 5

Essa última expressão mostra que v pertence a \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}. Como v era um vetor arbitrário de V, concluímos que
V \;=\;\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\},
ou seja, \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} gera V.

Resposta

\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} gera V.

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