Mostre que se
gera um espaço vetorial
e se
é uma combinação linear de
e
, então
ainda geram
.
"Não fiz o melhor, mas fiz tudo para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas não sou o que era antes. "(Martin Luther King).
"Não fiz o melhor, mas fiz tudo para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser, mas não sou o que era antes. "(Martin Luther King).
Passo 1
O enunciado afirma que
gera o espaço vetorial
e que
é combinação linear de
. Nosso objetivo é mostrar que já basta
para gerar
. O conteúdo envolvido é o de geradores (span) e combinação linear em espaços vetoriais.
Passo 2
Pela hipótese de que
é combinação linear de
, existem escalares
tais que
Passo 3
Como
gera
, dado qualquer vetor
podemos escrever
para certos escalares
.
Passo 4
Substituindo a expressão de
em
, obtemos
Reagrupando os coeficientes de
, temos
Passo 5
Essa última expressão mostra que
pertence a
. Como
era um vetor arbitrário de
, concluímos que
ou seja,
gera
.