Exercício 2. (2.3 Pontos)
Se \vec{u}=(7,7,4), \vec{v}=(-4,3,-5) e \vec{w}=(10,17,3), responda.
a) Os vetores \{\vec{u}, \vec{v}\} formam um conjunto LI ou LD?
b) Os vetores \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} formam um conjunto LI ou LD?
c) O conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é um conjunto ortogonal? Por conjunto ortogonal, se diz um conjunto de vetores que todos eles são ortogonais entre si dois a dois.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(7,7,4), \vec{v}=(-4,3,-5) e \vec{w}=(10,17,3) e pede:
  1. verificar se \{\vec{u},\vec{v}\} é LI ou LD;
  2. verificar se \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é LI ou LD;
  3. checar se \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é um conjunto ortogonal (isto é, se todos os pares têm produto interno zero).
    O conteúdo central é dependência linear e produto escalar em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para \{\vec{u},\vec{v}\} basta ver se existe \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}.
Comparando componentes teríamos
7=\lambda\cdot(-4) \quad\text{e}\quad 7=\lambda\cdot3.
Da primeira vem \lambda=-7/4, mas da segunda seria \lambda=7/3, que é diferente. Logo não há \lambda consistente e \{\vec{u},\vec{v}\} é LI.

Passo 3

Para \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}\) testamos se existe combinação linear \(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}\). Isso gera o sistema de equações lineares: \[\begin{cases} 7\alpha -4\beta =10,\\\\ 7\alpha +3\beta =17,\\\\ 4\alpha -5\beta =3. \end{cases}
Das duas primeiras equações subtraímos para achar \beta=1\], depois obtemos \(\alpha=2 e vemos que a terceira é satisfeita 4\cdot2-5\cdot1=3. Como \vec{w} é combinação de \vec{u} e \vec{v}, o conjunto é LD.

Passo 4

Para ortogonalidade calculamos os produtos internos:
\vec{u}\cdot\vec{v}=7\cdot(-4)+7\cdot3+4\cdot(-5)=-28+21-20=-27\neq0.
Basta esse par não ser ortogonal para concluir que o conjunto não é ortogonal.

Resposta

(a) \{\vec{u},\vec{v}\} é LI.
(b) \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é LD.
(c) \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} não é um conjunto ortogonal.

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