Exercício 1. (1.7 Pontos)

O vetor \vec{v}=(-17,28,-32) pode ser escrito como um combinação linear de \vec{u}=(5,-2,4) e \vec{w}=(4,9,-6). Em caso afirmativo, apresente esta combinação.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec v = (-17,28,-32), \vec u = (5,-2,4) e \vec w = (4,9,-6) e pede para escrever \vec v como combinação linear de \vec u e \vec w, ou seja, encontrar escalares a e b tais que
a\,\vec u + b\,\vec w = \vec v.
Vamos usar o fato de que a combinação linear se traduz num sistema linear de equações pelas componentes.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 5a + 4b = -17,\\\\ -2a + 9b = 28,\\\\ 4a - 6b = -32. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde às componentes x, y e z na igualdade a\,(5,-2,4)+b\,(4,9,-6)=(-17,28,-32).

Passo 3

Das duas primeiras equações, isolamos a em função de b. Da primeira:
5a + 4b = -17 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{-17-4b}{5}.

Passo 4

Substituímos esse a na segunda equação para encontrar b:
-2\Bigl(\frac{-17-4b}{5}\Bigr) + 9b = 28 \quad\Longrightarrow\quad \frac{34+8b}{5} + 9b = 28.
Multiplicando ambos os lados por 5:
34 + 8b + 45b = 140 \quad\Longrightarrow\quad 53b = 106 \quad\Longrightarrow\quad b = 2.

Passo 5

Com b=2, voltamos a a = \frac{-17-4b}{5}:
a = \frac{-17 - 4\cdot 2}{5} = \frac{-17-8}{5} = \frac{-25}{5} = -5.
Para garantir consistência, checamos a terceira equação:
4a - 6b = 4(-5) - 6\cdot2 = -20 - 12 = -32,
que bate com o valor pedido.

Resposta

\displaystyle \vec v = -5\,\vec u + 2\,\vec w.

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