Mostre que se
, os conjuntos
e
são bases de
e
, respectivamente, então
é uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se
, e se
e
são bases de
e
respectivamente, então o conjunto
é uma base de
. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma soma direta de subespaços e as propriedades de bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Em outras palavras, cada
pode ser expresso como
, onde
e
, e não há duas maneiras diferentes de escrever
assim.
Passo 3
Agora, sabemos que
é uma base de
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que eles são linearmente independentes. O mesmo vale para
em
.
Passo 4
Para mostrar que
é uma base de
, precisamos verificar duas coisas:
- Espalhamento (Span): Todo vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto. - Independência Linear: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 5
Espalhamento: Como
, qualquer
pode ser escrito como
, com
e
. Como
é gerado por
e
por
, então
e
podem ser escritos como combinações lineares desses vetores. Logo,
pode ser escrito como uma combinação linear de
.
Passo 6
Independência Linear: Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Como
e
se intersectam apenas no vetor zero (por serem uma soma direta), isso implica que:
Como
e
são bases, todos os coeficientes
e
devem ser zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.
Resposta
Assim, mostramos que
é uma base de
, pois satisfaz tanto o espalhamento quanto a independência linear.