Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
f) r1:lx=2+t y=4-t z=-t
e r2:ly=6-x z=2-x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e queremos saber se elas se cruzam em algum ponto. Se elas se cruzarem, vamos descobrir onde isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equações paramétricas de retas e resolver um sistema de equações para encontrar as coordenadas desse ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas. A reta x = 2 + t y = 4 - t z = -t já está dada de forma paramétrica com o parâmetro x = s y = 6 - s z = 2 - s :
Já a reta está dada de forma diferente, mas podemos reescrevê-la também em termos de um parâmetro. Vamos chamar o parâmetro de . Como não especifica diretamente, vamos escolher . Assim, as equações de ficam:

Passo 3

Para verificar se as retas são concorrentes, vamos igualar as coordenadas de 2 + t = s 4 - t = 6 - s -t = 2 - s e e resolver o sistema de equações resultante. Ou seja, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
s = 2 + t (1)
Substituindo 4 - t = 6 - (2 + t) na segunda equação:
4 - t = 4 - t
Simplificando:
-t = 2 - (2 + t)
Isso não nos dá nenhuma informação nova, então vamos para a terceira equação substituindo -t = 0 - t por :
Simplificando:
Isso também é verdadeiro para qualquer valor de , o que significa que as duas retas coincidem em todos os pontos onde se definem pelas equações.

Resposta

As retas e são concorrentes e se cruzam em todos os pontos definidos pelas equações, ou seja, elas coincidem em toda a sua extensão.

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