Sejam os conjuntos
e
.
a) Eles são subespaços?
a) Eles são subespaços?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois conjuntos
e
dentro do espaço
. A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para verificar se esses conjuntos são subespaços, precisamos checar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
.
Verificação do vetor zero:
Substituindo ,
,
, e
nas equações, temos:
Substituindo
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos
e
. Eles satisfazem:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
Somando os dois vetores:
Verificamos:
Portanto, a soma está em
.
Passo 4
Fechamento na multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em ,
, que satisfaz
e
, e multiplicamos por um escalar
:
Pegamos um vetor qualquer em
Verificamos:
Assim, o vetor resultante também está em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o conjunto
.
Verificação do vetor zero:
Substituindo ,
,
, e
na equação, temos:
Substituindo
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 6
Fechamento na adição:
Pegamos dois vetores quaisquer em ,
e
, que satisfazem:
Pegamos dois vetores quaisquer em
Somando os dois vetores:
Verificamos:
Portanto, a soma está em
.
Passo 7
Fechamento na multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em ,
, que satisfaz
, e multiplicamos por um escalar
:
Pegamos um vetor qualquer em
Verificamos:
Assim, o vetor resultante também está em
.
Resposta
Sim, ambos os conjuntos
e
são subespaços de
.