Mostre que valem as seguintes tautologias: (b)
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana
e pede para mostrar que ela é equivalente à expressão
Informações relevantes fornecidas (peguei tudo do enunciado):
-
são variáveis booleanas (valores em ). - A notação concatenada, por exemplo
, significa (AND). - O símbolo
significa OR (disjunção). - O apóstrofo
indica complemento (negação), por exemplo .
O objetivo é transformar passo a passo a expressão à esquerda até obter exatamente a expressão à direita, usando identidades do Álgebra Booleana.
Passo 2
Começo por agrupar termos que têm fatores comuns. Observe os dois primeiros termos:
Aqui usei a distributiva
. Pela lei do complemento vale
. Portanto
Assim, substituindo na expressão original, obtemos
Passo 3
Agora vou agrupar os dois primeiros termos resultantes em
:
Então a expressão fica
Passo 4
Preciso simplificar
. Vou mostrar a identidade útil
Prova rápida dessa igualdade: calcule o produto
. Como
, tem-se
Mas expandindo o produto pela distributiva:
Portanto
. Usando isso em
, obtemos
Passo 5
Substituindo no lugar adequado, a expressão agora é
Aplicando distributiva a
:
Logo a expressão fica
Passo 6
Agora junte os termos que contêm
:
.
Simplifico usando raciocínio análogo ao do Passo 4:
Simplifico
pois
. Assim
Substituindo de volta, a expressão completa torna-se
Passo 7
Reordenei os termos por simetria e chegamos exatamente a
Portanto, a igualdade pedida está demonstrada.