Mostre que valem as seguintes tautologias: (b) a b c+a^{\prime} b c+a b^{\prime} c+a b c^{\prime} \equiv(a b+b c+c a).

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana
a b c + a^{\prime} b c + a b^{\prime} c + a b c^{\prime}
e pede para mostrar que ela é equivalente à expressão
a b + b c + c a.
Informações relevantes fornecidas (peguei tudo do enunciado):
  • a,b,c são variáveis booleanas (valores em \{0,1\}).
  • A notação concatenada, por exemplo a b, significa a\land b (AND).
  • O símbolo + significa OR (disjunção).
  • O apóstrofo ^{\prime} indica complemento (negação), por exemplo a^{\prime}=\lnot a.
    O objetivo é transformar passo a passo a expressão à esquerda até obter exatamente a expressão à direita, usando identidades do Álgebra Booleana.

Passo 2

Começo por agrupar termos que têm fatores comuns. Observe os dois primeiros termos:
a b c + a^{\prime} b c = b c (a + a^{\prime}).
Aqui usei a distributiva x y + x^{\prime} y = y (x + x^{\prime}). Pela lei do complemento vale a + a^{\prime}=1. Portanto
b c (a + a^{\prime}) = b c \cdot 1 = b c.
Assim, substituindo na expressão original, obtemos
a b c + a^{\prime} b c + a b^{\prime} c + a b c^{\prime} = b c + a b^{\prime} c + a b c^{\prime}.

Passo 3

Agora vou agrupar os dois primeiros termos resultantes em c:
b c + a b^{\prime} c = c\,(b + a b^{\prime}).
Então a expressão fica
c\,(b + a b^{\prime}) + a b c^{\prime}.

Passo 4

Preciso simplificar b + a b^{\prime}. Vou mostrar a identidade útil
b + a b^{\prime} = a + b.
Prova rápida dessa igualdade: calcule o produto (b + a)(b + b^{\prime}). Como b + b^{\prime}=1, tem-se
(b + a)(b + b^{\prime}) = (b + a)\cdot 1 = a + b.
Mas expandindo o produto pela distributiva:
(b + a)(b + b^{\prime}) = b + a b^{\prime}.
Portanto b + a b^{\prime} = a + b. Usando isso em c(b + a b^{\prime}), obtemos
c\,(b + a b^{\prime}) = c\,(a + b).

Passo 5

Substituindo no lugar adequado, a expressão agora é
c\,(a + b) + a b c^{\prime}.
Aplicando distributiva a c(a + b):
c(a + b) = a c + b c.
Logo a expressão fica
a c + b c + a b c^{\prime}.

Passo 6

Agora junte os termos que contêm a: a c + a b c^{\prime} = a\,(c + b c^{\prime}).
Simplifico c + b c^{\prime} usando raciocínio análogo ao do Passo 4:
c + b c^{\prime} = (c + b)(c + c^{\prime}) = c + b,
pois c + c^{\prime}=1. Assim
a\,(c + b c^{\prime}) = a\,(b + c) = a b + a c.
Substituindo de volta, a expressão completa torna-se
a b + a c + b c.

Passo 7

Reordenei os termos por simetria e chegamos exatamente a
a b + b c + c a.
Portanto, a igualdade pedida está demonstrada.

Resposta

a b c+a^{\prime} b c+a b^{\prime} c+a b c^{\prime}\equiv a b+b c+c a

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