Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (d)
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função booleana é
. - O pedido: encontrar a(s) forma(s) disjuntiva(s) mínima(s) (forma soma-de-produtos mínima) usando mapas de Karnaugh e indicar o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que existam.
Informações relevantes extraídas do enunciado (minterms):
Logo os minterms com valor 1 são
.
Passo 2
Breve explicação sobre mapas de Karnaugh (K-map) e como usarei aqui.
- Um K-map para três variáveis (
) organiza os 8 minterms em duas linhas (para e ) e quatro colunas (para os pares em ordem Gray: ). - A vantagem: grupos retangulares de
células adjacentes (com wrap-around) correspondem a implicantes que eliminam variáveis — quanto maior o grupo, menos literais no produto. - Nosso objetivo é cobrir todos os 1s com implicantes primos escolhidos de forma a minimizar o número de termos (e, entre termos de mesmo número, minimizar literais se possível). Também identificamos implicantes essenciais (que cobrem minterms que nenhum outro implicante cobre).
Passo 3
Preenchimento do K-map com os minterms
.
Vou mostrar a posição dos índices no mapa (cada célula é o índice do minterm):
Interpretação da tabela: a linha
corresponde aos índices
e a linha
aos
. Preenchi 1 nas células correspondentes aos minterms
, conforme a tabela acima.
Passo 4
Encontrar os possíveis grupos (implicantes primos) no K-map — passo a passo e explicando como se traduz cada grupo num produto.
Regras de agrupamento (resumido, lembrando o básico):
- Grupos devem ter tamanho potência de 2:
. - Podem “enrolar” pelas bordas (wrap-around).
- Cada grupo elimina da expressão tantas variáveis quanto as direções do agrupamento permitem.
Analisando o mapa, possíveis grupos máximos observáveis:
- Coluna
: há 1 em (minterm ) e em (minterm ). Esse par vertical é um grupo de 2 que elimina . A coluna significa , portanto o implicante é
- Coluna
: há 1 em (minterm ) e em (minterm ). Esse par vertical elimina . A coluna significa , portanto o implicante é
- Linha
, colunas e (índices e ): ambas são 1 e são adjacentes. Esse par horizontal elimina e fixa , portanto o implicante é
- Linha
, colunas e são adjacentes por wrap-around (índices e ): ambas são 1. Esse par horizontal elimina e fixa , portanto o implicante é
Observação: cada um desses grupos é “máximo” no sentido de não poder ser expandido sem incluir uma célula 0. Há, portanto, quatro implicantes primos candidatos:
.
Passo 5
Identificar implicantes essenciais (aqueles que cobrem minterms que nenhum outro implicante cobre). Vou ver, minterm por minterm, quais implicantes o cobrem.
Coberturas:
Conclusões:
- Como o minterm
só é coberto por , então é um implicante essencial. - Como o minterm
só é coberto por , então é um implicante essencial. - Os outros minterms (
) já são cobertos por esses essenciais, exceto o minterm que ainda não está coberto após colocar apenas os essenciais.
Portanto, os implicantes essenciais que devemos ter sempre são
Eles cobrem os minterms
. Resta cobrir o minterm
(índice
, que corresponde a
).
Passo 6
Decidir a cobertura do minterm restante
. Quais opções temos?
- Opção A: usar o implicante
(grupo ). Ele cobre e também cobre (que já está coberto por , mas isso não é problema). Com isso a cobertura completa é
- Opção B: usar o implicante
(grupo ). Ele cobre e também cobre (que já está coberto por ). Com isso a cobertura completa é
Ambas as opções produzem coberturas completas, e cada uma usa três termos (três produtos). Não é possível cobrir todos os 1s com apenas dois produtos, porque já identificamos dois implicantes essenciais (os quais são indispensáveis) e ainda falta cobrir
— portanto é necessário ao menos mais um implicante. Assim, três termos é o mínimo de termos possíveis. As duas escolhas acima são, portanto, formas disjuntivas mínimas possíveis.
Observação adicional (fatoração curta): os dois primeiros termos
são exatamente
(XOR), mas como o pedido foi forma disjuntiva mínima (SOP), mantenho a soma de produtos explícita.
Passo 7
Contagem do número de formas disjuntivas mínimas diferentes:
- Só há liberdade na escolha do implicante que cobre o minterm
: ou ou . As outras duas implicantes ( e ) são essenciais. Logo existem exatamente formas disjuntivas mínimas distintas.
Resposta
Número de formas disjuntivas mínimas: