Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (d) \delta=a b c^{\prime}+a b^{\prime} c+a b^{\prime} c^{\prime}+a^{\prime} b c^{\prime}+a^{\prime} b^{\prime} c;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função booleana é \delta = a b c' + a b' c + a b' c' + a' b c' + a' b' c.
  • O pedido: encontrar a(s) forma(s) disjuntiva(s) mínima(s) (forma soma-de-produtos mínima) usando mapas de Karnaugh e indicar o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que existam.
Informações relevantes extraídas do enunciado (minterms):
\begin{aligned} a b c' &\longrightarrow \text{minterm }6,\\\ a b' c &\longrightarrow \text{minterm }5,\\\ a b' c' &\longrightarrow \text{minterm }4,\\\ a' b c' &\longrightarrow \text{minterm }2,\\\ a' b' c &\longrightarrow \text{minterm }1. \end{aligned}
Logo os minterms com valor 1 são \{1,2,4,5,6\}.

Passo 2

Breve explicação sobre mapas de Karnaugh (K-map) e como usarei aqui.
  • Um K-map para três variáveis ( a,b,c) organiza os 8 minterms em duas linhas (para a=0 e a=1) e quatro colunas (para os pares (b,c) em ordem Gray: 00,01,11,10).
  • A vantagem: grupos retangulares de 1,2,4,\dots células adjacentes (com wrap-around) correspondem a implicantes que eliminam variáveis — quanto maior o grupo, menos literais no produto.
  • Nosso objetivo é cobrir todos os 1s com implicantes primos escolhidos de forma a minimizar o número de termos (e, entre termos de mesmo número, minimizar literais se possível). Também identificamos implicantes essenciais (que cobrem minterms que nenhum outro implicante cobre).

Passo 3

Preenchimento do K-map com os minterms 1,2,4,5,6.
Vou mostrar a posição dos índices no mapa (cada célula é o índice do minterm):
\begin{array}{c|cccc} a\backslash (b,c) & 00 & 01 & 11 & 10\\hline 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}
Interpretação da tabela: a linha a=0 corresponde aos índices [0,1,3,2] e a linha a=1 aos [4,5,7,6]. Preenchi 1 nas células correspondentes aos minterms \{1,2,4,5,6\}, conforme a tabela acima.

Passo 4

Encontrar os possíveis grupos (implicantes primos) no K-map — passo a passo e explicando como se traduz cada grupo num produto.
Regras de agrupamento (resumido, lembrando o básico):
  • Grupos devem ter tamanho potência de 2: 1,2,4,\dots.
  • Podem “enrolar” pelas bordas (wrap-around).
  • Cada grupo elimina da expressão tantas variáveis quanto as direções do agrupamento permitem.
Analisando o mapa, possíveis grupos máximos observáveis:
  1. Coluna (b,c) = 01: há 1 em a=0 (minterm 1) e em a=1 (minterm 5). Esse par vertical é um grupo de 2 que elimina a. A coluna 01 significa b=0,\;c=1, portanto o implicante é
\text{grupo }(1,5)\\ \Rightarrow\\ b'c.
  1. Coluna (b,c)=10: há 1 em a=0 (minterm 2) e em a=1 (minterm 6). Esse par vertical elimina a. A coluna 10 significa b=1,\;c=0, portanto o implicante é
\text{grupo }(2,6)\\ \Rightarrow\\ bc'.
  1. Linha a=1, colunas 00 e 01 (índices 4 e 5): ambas são 1 e são adjacentes. Esse par horizontal elimina c e fixa a=1,b=0, portanto o implicante é
\text{grupo }(4,5)\\ \Rightarrow\\ ab'.
  1. Linha a=1, colunas 10 e 00 são adjacentes por wrap-around (índices 6 e 4): ambas são 1. Esse par horizontal elimina b e fixa a=1,c=0, portanto o implicante é
\text{grupo }(4,6)\\ \Rightarrow\\ ac'.
Observação: cada um desses grupos é “máximo” no sentido de não poder ser expandido sem incluir uma célula 0. Há, portanto, quatro implicantes primos candidatos: b'c,\;bc',\;ab',\;ac'.

Passo 5

Identificar implicantes essenciais (aqueles que cobrem minterms que nenhum outro implicante cobre). Vou ver, minterm por minterm, quais implicantes o cobrem.
Coberturas:
\begin{aligned} \text{minterm }1 &: \text{coberto apenas por } b'c.\\\ \text{minterm }2 &: \text{coberto apenas por } bc'.\\\ \text{minterm }4 &: \text{coberto por } ab' \text{ e por } ac'.\\\ \text{minterm }5 &: \text{coberto por } b'c \text{ e por } ab'.\\\ \text{minterm }6 &: \text{coberto por } bc' \text{ e por } ac'. \end{aligned}
Conclusões:
  • Como o minterm 1 só é coberto por b'c, então b'c é um implicante essencial.
  • Como o minterm 2 só é coberto por bc', então bc' é um implicante essencial.
  • Os outros minterms ( 4,5,6) já são cobertos por esses essenciais, exceto o minterm 4 que ainda não está coberto após colocar apenas os essenciais.
Portanto, os implicantes essenciais que devemos ter sempre são
b'c\quad\text{e}\quad bc'.
Eles cobrem os minterms 1,2,5,6. Resta cobrir o minterm 4 (índice 4, que corresponde a a=1,b=0,c=0).

Passo 6

Decidir a cobertura do minterm restante 4. Quais opções temos?
  • Opção A: usar o implicante ab' (grupo (4,5)). Ele cobre 4 e também cobre 5 (que já está coberto por b'c, mas isso não é problema). Com isso a cobertura completa é
\delta = b'c + bc' + ab'.
  • Opção B: usar o implicante ac' (grupo (4,6)). Ele cobre 4 e também cobre 6 (que já está coberto por bc'). Com isso a cobertura completa é
\delta = b'c + bc' + ac'.
Ambas as opções produzem coberturas completas, e cada uma usa três termos (três produtos). Não é possível cobrir todos os 1s com apenas dois produtos, porque já identificamos dois implicantes essenciais (os quais são indispensáveis) e ainda falta cobrir 4 — portanto é necessário ao menos mais um implicante. Assim, três termos é o mínimo de termos possíveis. As duas escolhas acima são, portanto, formas disjuntivas mínimas possíveis.
Observação adicional (fatoração curta): os dois primeiros termos b'c + bc' são exatamente b\oplus c (XOR), mas como o pedido foi forma disjuntiva mínima (SOP), mantenho a soma de produtos explícita.

Passo 7

Contagem do número de formas disjuntivas mínimas diferentes:
  • Só há liberdade na escolha do implicante que cobre o minterm 4: ou ab' ou ac'. As outras duas implicantes ( b'c e bc') são essenciais. Logo existem exatamente 2 formas disjuntivas mínimas distintas.

Resposta

\delta = b'c + bc' + ab'
\delta = b'c + bc' + ac'
Número de formas disjuntivas mínimas: 2

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