Simplifique e reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva normal: (d) b\left(a+b c^{\prime}\right);

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e reduzir à forma disjuntiva normal a expressão
b\left(a+b c^{\prime}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão booleana é b(a+b c^{\prime}).
  • Objetivo final: obter a forma disjuntiva normal (DNF — soma de produtos), ou seja, uma soma (OU) de termos que são produtos (E) de literais.

Passo 2

Vou lembrar algumas leis básicas de álgebra booleana que vou usar (com explicação curta e exemplo fácil):
  • Lei distributiva: \;x(y+z)=xy+xz. Ex.: p(q+r)=pq+pr.
  • Lei idempotente do produto: \;x x = x. Ex.: q q = q.
  • Lei comutativa/associativa (para somas e produtos): permitem reordenar termos.
  • Forma disjuntiva normal (DNF): um OR de ANDs de literais; ex.: pq + r\bar s já está em DNF.
Essas são suficientes aqui.

Passo 3

Aplicando a lei distributiva em \;b(a+b c^{\prime}):
b(a+b c^{\prime}) = b a + b(b c^{\prime}).
Expliquei: multiplique b por cada parcela do parêntese.

Passo 4

Agora uso a idempotência do produto em b(b c^{\prime}). Como b b = b, temos:
b(b c^{\prime}) = b c^{\prime}.
Substituindo de volta:
b a + b(b c^{\prime}) = b a + b c^{\prime}.

Passo 5

Verificação da forma DNF e possibilidade de simplificação adicional:
  • A expressão \;b a + b c^{\prime} é uma soma (OU) de produtos (ANDs) de literais: os termos são b a e b c^{\prime}. Logo já está em DNF.
  • Podemos fatorar b e escrever \;b(a+c^{\prime}), mas essa forma não é soma de produtos (é produto de soma) — portanto não é DNF. Além disso, não há lei de absorção que reduza ba + b c^{\prime} a um único produto porque nenhum termo contém completamente o outro. Então a DNF mínima continua sendo b a + b c^{\prime}.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo análogo: \;x(y + x z^{\prime}) segue o mesmo padrão:
x(y + x z^{\prime}) = xy + x(x z^{\prime}) = xy + x z^{\prime},
que é DNF. Mesma mecânica que usamos aqui.

Resposta

b a + b c^{\prime}

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