Simplifique e reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva normal: (d)
;
Passo 1
O enunciado pede para simplificar e reduzir à forma disjuntiva normal a expressão
Informações relevantes dadas:
- A expressão booleana é
. - Objetivo final: obter a forma disjuntiva normal (DNF — soma de produtos), ou seja, uma soma (OU) de termos que são produtos (E) de literais.
Passo 2
Vou lembrar algumas leis básicas de álgebra booleana que vou usar (com explicação curta e exemplo fácil):
- Lei distributiva:
. Ex.: . - Lei idempotente do produto:
. Ex.: . - Lei comutativa/associativa (para somas e produtos): permitem reordenar termos.
- Forma disjuntiva normal (DNF): um OR de ANDs de literais; ex.:
já está em DNF.
Essas são suficientes aqui.
Passo 3
Aplicando a lei distributiva em
:
Expliquei: multiplique
por cada parcela do parêntese.
Passo 4
Agora uso a idempotência do produto em
. Como
, temos:
Substituindo de volta:
Passo 5
Verificação da forma DNF e possibilidade de simplificação adicional:
- A expressão
é uma soma (OU) de produtos (ANDs) de literais: os termos são e . Logo já está em DNF. - Podemos fatorar
e escrever , mas essa forma não é soma de produtos (é produto de soma) — portanto não é DNF. Além disso, não há lei de absorção que reduza a um único produto porque nenhum termo contém completamente o outro. Então a DNF mínima continua sendo .
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo análogo:
segue o mesmo padrão:
que é DNF. Mesma mecânica que usamos aqui.