Dada a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x-2 & \text { se } x>-1 \\\\ 3 & \text { se } x=-1 \\\\ 5-\text { ax } & \text { se } x<-1\end{array}\right.. Determine a \in \mathbb{R} para que exista \lim _{x \rightarrow-1} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 3x-2 & \text{se } x>-1,\\[4pt] 3 & \text{se } x=-1,\\[4pt] 5-ax & \text{se } x<-1, \end{cases}
e pede: determinar a\in\mathbb{R} para que exista \lim_{x\to -1} f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x>-1 a expressão é \;3x-2\;.
  • Para x<-1 a expressão é \;5-ax\;.
  • O valor em x=-1 é f(-1)=3 (mas isso pode ou não influenciar a existência do limite).
  • A pergunta é: escolher a de modo que o limite quando x se aproxima de -1 exista.]

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática): o limite \lim_{x\to -1} f(x) existe se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to -1^-} é o limite quando x se aproxima de -1 pela esquerda (valores menores que -1) e \lim_{x\to -1^+} é o limite quando x se aproxima de -1 pela direita (valores maiores que -1). Portanto vamos calcular os dois limites e forçar que sejam iguais.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to -1^+} f(x).
Para x>-1 vale f(x)=3x-2. Funções lineares são contínuas, logo o limite quando x\to -1 é obtido substituindo x=-1 na expressão:
\lim_{x\to -1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+} (3x-2)=3\cdot(-1)-2=-3-2=-5.
Portanto \lim_{x\to -1^+} f(x)=-5.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to -1^-} f(x).
Para x<-1 vale f(x)=5-ax. Essa também é uma função linear em x, então o limite ao aproximar x de -1 pela esquerda é dado por substituir x=-1:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-} (5-ax)=5-a\cdot(-1)=5+a.
Portanto \lim_{x\to -1^-} f(x)=5+a.

Passo 5

Impor igualdade dos limites laterais para garantir existência do limite:
Queremos
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^+} f(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
5+a = -5.
Resolver essa equação:
a = -5 - 5 = -10.

Passo 6

Verificação rápida: com a=-10 temos \lim_{x\to -1^-} f(x)=5+(-10)=-5 e \lim_{x\to -1^+} f(x)=-5, iguais. Logo o limite existe e vale -5. Observação final: o valor f(-1)=3 dado no enunciado é diferente de -5, então com a=-10 a função tem limite em -1 mas não é contínua em -1.

Resposta

a=-10

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