Calcule a integral dupla
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função a integrar é
.
O que se pede: obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha do método: usar integração iterada (Teorema de Fubini). Explicação didática: se uma função é contínua num retângulo, então a integral dupla pode ser calculada como uma iterada, isto é,
ou trocando a ordem. Aqui
é contínua em
(porque
e produto por
são contínuos), então podemos aplicar Fubini sem problemas. Opto por integrar primeiro em
porque, com
fixo, a antiderivada em
fica simples.
Passo 3
Escrever a integral iterada com a ordem escolhida:
Aqui, ao integrar em
, tratamos
como constante.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Explicação da técnica: usar a substituição , pois a derivada de
em relação a
é
. Logo,
Explicação da técnica: usar a substituição
faço
, assim a integral vira
Portanto, avaliando de
até
,
Passo 5
Agora integrar o resultado em
:
Calcular antiderivadas:
e
. Assim,
Avaliar nos extremos:
Passo 6
Conclusão: a integral dupla vale
. É até meio satisfatório: a oscilação do seno em conjunto com o fator
faz com que, sobre aquele intervalo, as contribuições positivas e negativas se cancelem.