Calcule a integral dupla \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, onde R=[1,2] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(x y)\,dA
onde R=[1,2]\times[0,\pi].
Informações dadas:
  • A região R é o retângulo com x variando de 1 a 2 e y variando de 0 a \pi.
  • A função a integrar é f(x,y)=y\,\operatorname{sen}(x y).
O que se pede: obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha do método: usar integração iterada (Teorema de Fubini). Explicação didática: se uma função é contínua num retângulo, então a integral dupla pode ser calculada como uma iterada, isto é,
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{\pi}\left(\int_{x=1}^{2} f(x,y)\,dx\right)dy
ou trocando a ordem. Aqui f(x,y)=y\sin(xy) é contínua em R (porque \sin e produto por y são contínuos), então podemos aplicar Fubini sem problemas. Opto por integrar primeiro em x porque, com y fixo, a antiderivada em x fica simples.

Passo 3

Escrever a integral iterada com a ordem escolhida:
\iint_{R} y\sin(xy)\,dA = \int_{y=0}^{\pi}\left(\int_{x=1}^{2} y\sin(xy)\,dx\right)dy.
Aqui, ao integrar em x, tratamos y como constante.

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
Explicação da técnica: usar a substituição \;u=xy\;, pois a derivada de u em relação a x é du=y\,dx. Logo,
\int y\sin(xy)\,dx
faço u=xy\Rightarrow du=y\,dx, assim a integral vira
\int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C = -\cos(xy)+C.
Portanto, avaliando de x=1 até x=2,
\int_{x=1}^{2} y\sin(xy)\,dx = \big[-\cos(xy)\big]_{x=1}^{2} = -\cos(2y) -\big(-\cos(y)\big) = \cos(y)-\cos(2y).

Passo 5

Agora integrar o resultado em y:
\int_{y=0}^{\pi} \big(\cos(y)-\cos(2y)\big)\,dy.
Calcular antiderivadas: \int \cos(y)\,dy=\sin(y) e \int \cos(2y)\,dy=\tfrac{1}{2}\sin(2y). Assim,
\int_{0}^{\pi} \big(\cos(y)-\cos(2y)\big)\,dy = \Big[\sin(y)-\tfrac{1}{2}\sin(2y)\Big]_{0}^{\pi}.
Avaliar nos extremos:
\sin(\pi)-\tfrac{1}{2}\sin(2\pi) -\big(\sin(0)-\tfrac{1}{2}\sin(0)\big) = 0-0-(0-0)=0.

Passo 6

Conclusão: a integral dupla vale 0. É até meio satisfatório: a oscilação do seno em conjunto com o fator y faz com que, sobre aquele intervalo, as contribuições positivas e negativas se cancelem.

Resposta

0

Exercícios relacionados