Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre duas somas de vetores e pede para deduzir que os primeiros somandos são iguais. Especificamente:
- Dado
(vetores quaisquer) e a informação
o que se pede provar é que
Nenhuma outra informação numérica é fornecida; a ideia é usar propriedades básicas da operação de soma de vetores.
Passo 2
Lembrando os fatos fundamentais (propriedades que valem em qualquer espaço vetorial) que vamos usar:
- Existe um vetor nulo
tal que, para todo vetor ,
- Para todo vetor
existe um inverso aditivo, denotado por , tal que
- A soma é associativa: para quaisquer vetores
,
Essas três propriedades são suficientes para fazer a “cancellation” (cancelamento) da soma com
.
Passo 3
Partimos da igualdade dada:
Como operação legítima, podemos somar o mesmo vetor a ambos os lados da igualdade. Em particular, somamos o inverso aditivo de
, isto é
, aos dois lados:
Passo 4
Aplicando a associatividade da soma em cada membro, reagrupamos os parênteses:
Passo 5
Pelo fato do inverso aditivo,
. Substituindo isso na igualdade do passo anterior obtemos
Passo 6
Usando a propriedade do vetor nulo,
para todo
, simplificamos ambos os lados:
Pronto — mostramos que se
então necessariamente
.
Passo 7
Para ficar mais concreto: em
, se
, então por igualdade componente a componente
implica
e
, e subtraindo
e
obtém-se
e
, isto é,
. Esse exemplo numérico ilustra a mesma propriedade geral que provamos acima de forma abstrata.