Mostre que:
\vec{x}+\vec{z}=\vec{y}+\vec{z} \Rightarrow \vec{x}=\vec{y}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre duas somas de vetores e pede para deduzir que os primeiros somandos são iguais. Especificamente:
  • Dado \vec{x},\vec{y},\vec{z} (vetores quaisquer) e a informação
\vec{x}+\vec{z}=\vec{y}+\vec{z},
o que se pede provar é que
\vec{x}=\vec{y}.
Nenhuma outra informação numérica é fornecida; a ideia é usar propriedades básicas da operação de soma de vetores.

Passo 2

Lembrando os fatos fundamentais (propriedades que valem em qualquer espaço vetorial) que vamos usar:
  • Existe um vetor nulo \vec{0} tal que, para todo vetor \vec{v},
\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}.
  • Para todo vetor \vec{v} existe um inverso aditivo, denotado por -\vec{v}, tal que
\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}.
  • A soma é associativa: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).
Essas três propriedades são suficientes para fazer a “cancellation” (cancelamento) da soma com \vec{z}.

Passo 3

Partimos da igualdade dada:
\vec{x}+\vec{z}=\vec{y}+\vec{z}.
Como operação legítima, podemos somar o mesmo vetor a ambos os lados da igualdade. Em particular, somamos o inverso aditivo de \vec{z}, isto é -\vec{z}, aos dois lados:
(\vec{x}+\vec{z})+(-\vec{z})=(\vec{y}+\vec{z})+(-\vec{z}).

Passo 4

Aplicando a associatividade da soma em cada membro, reagrupamos os parênteses:
\vec{x}+(\vec{z}+(-\vec{z}))=\vec{y}+(\vec{z}+(-\vec{z})).

Passo 5

Pelo fato do inverso aditivo, \vec{z}+(-\vec{z})=\vec{0}. Substituindo isso na igualdade do passo anterior obtemos
\vec{x}+\vec{0}=\vec{y}+\vec{0}.

Passo 6

Usando a propriedade do vetor nulo, \vec{v}+\vec{0}=\vec{v} para todo \vec{v}, simplificamos ambos os lados:
\vec{x}=\vec{y}.
Pronto — mostramos que se \vec{x}+\vec{z}=\vec{y}+\vec{z} então necessariamente \vec{x}=\vec{y}.

Passo 7

Para ficar mais concreto: em \mathbb{R}^2, se (x_1,x_2)+(z_1,z_2)=(y_1,y_2)+(z_1,z_2), então por igualdade componente a componente
(x_1+z_1,x_2+z_2)=(y_1+z_1,y_2+z_2)
implica x_1+z_1=y_1+z_1 e x_2+z_2=y_2+z_2, e subtraindo z_1 e z_2 obtém-se x_1=y_1 e x_2=y_2, isto é, (x_1,x_2)=(y_1,y_2). Esse exemplo numérico ilustra a mesma propriedade geral que provamos acima de forma abstrata.

Resposta

\vec{x}=\vec{y}

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