Dados os vetores \vec{u}=(2,-1,1), \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2), calcule:
(c) \langle(\vec{u}+\vec{v}),(\vec{w} \times \vec{v})\rangle

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(2,-1,1), \vec{v}=(1,-1,0) e \vec{w}=(-1,2,2) e pede para calcular
\langle(\vec{u}+\vec{v}),(\vec{w} \times \vec{v})\rangle.
Informações relevantes:
  • É preciso primeiro somar \vec{u} e \vec{v}.
  • Depois calcular o produto vetorial \vec{w}\times\vec{v}.
  • Finalmente calcular o produto escalar entre \vec{u}+\vec{v} e \vec{w}\times\vec{v}.

Passo 2

Primeiro somar \vec{u} e \vec{v}.
Regra: a soma de vetores é feita componente a componente. Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3).
Aplicando:
\vec{u}+\vec{v} = (2+1,\; -1+(-1),\; 1+0) = (3,\; -2,\; 1).

Passo 3

Agora calcular \vec{w}\times\vec{v}.
Lembrete (fórmula): o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} em coordenadas usa a expansão por determinante
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
ou, componente a componente,
\vec{a}\times\vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
Cada componente é uma diferença de produtos dos componentes dos vetores.
Aqui \vec{w}=(-1,2,2) e \vec{v}=(1,-1,0). Calculando componente a componente:
  • componente x:
w_2 v_3 - w_3 v_2 = 2\cdot 0 - 2\cdot(-1) = 0 + 2 = 2.
  • componente y:
w_3 v_1 - w_1 v_3 = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 0 = 2 - 0 = 2.
(esta é a forma a_3 b_1 - a_1 b_3; note a ordem)
  • componente z:
w_1 v_2 - w_2 v_1 = (-1)\cdot(-1) - 2\cdot 1 = 1 - 2 = -1.
Portanto
\vec{w}\times\vec{v} = (2,\;2,\;-1).
Como verificação rápida: o produto vetorial é ortogonal a \vec{v}, então \vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) deve ser zero. Calculando: 1\cdot2 + (-1)\cdot2 + 0\cdot(-1)=2-2+0=0. OK.

Passo 4

Agora calcular o produto escalar \langle(\vec{u}+\vec{v}),(\vec{w}\times\vec{v})\rangle.
Regra: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\langle \vec{a},\vec{b}\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Aqui \vec{u}+\vec{v}=(3,-2,1) e \vec{w}\times\vec{v}=(2,2,-1). Calculando:
\langle \vec{u}+\vec{v},\;\vec{w}\times\vec{v}\rangle = 3\cdot 2 + (-2)\cdot 2 + 1\cdot (-1).
Agora passo a passo:
3\cdot 2 = 6,\qquad (-2)\cdot 2 = -4,\qquad 1\cdot(-1) = -1.
Somando:
6 + (-4) + (-1) = 6 - 4 - 1 = 1.

Passo 5

Comentário didático rápido (atalho útil para prova): o produto escalar pedido é o produto misto (ou triplo escalar)
\langle \vec{a},\; \vec{b}\times\vec{c}\rangle,
que é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Assim poderia-se também calcular
\det\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\\\ -1 & 2 & 2\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},
que dá o mesmo resultado 1. Isso é útil como verificação rápida em prova.

Resposta

1

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