Seja A um anel. Em A \times A estäo definidas as duas operações seguintes:
\begin{aligned} & (a, b) \top(c, d)=(a+c, b+d) \\\ & (a, b) *(c, d)=(a c, 0) \end{aligned}
Prove que A \times A é um anel.

Passo 1

O enunciado dá o anel A (portanto todos os elementos que eu mencionar pertencem a A) e define em A\times A as operações:
(a,b)\top(c,d)=(a+c,\;b+d)
(a,b)*(c,d)=(a c,\;0)
O que se pede: provar que A\times A, com essas operações \top e *, é um anel.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é um anel (logo as operações + e \cdot em A satisfazem as propriedades usuais: associatividade, existência de elemento neutro aditivo 0, inversos aditivos, comutatividade da soma, associatividade do produto, e distributividade).
  • As operações em A\times A são definidas componente a componente para \top e por (a,b)*(c,d)=(a c,0).
  • A tarefa é verificar todas as propriedades necessárias para que A\times A componha um anel (ou seja: (A\times A,\top) é um grupo abeliano, * é fechada e associativa, e * distribui sobre \top à esquerda e à direita).

Passo 2

Verificação de notação e hipóteses iniciais (explicando variáveis).
Tomar quaisquer elementos (a,b), (c,d), (e,f)\in A\times A, isto é, a,b,c,d,e,f\in A. Sempre que eu escrever 0 ou -x em coordenadas, refiro-me ao 0 aditivo e ao inverso aditivo de A.

Passo 3

Fechamento e associatividade da soma \top.
  • Fechamento: para (a,b),(c,d)\in A\times A tem-se (a,b)\top(c,d)=(a+c,\;b+d). Como a+c\in A e b+d\in A (fechamento da adição em A), resulta que (a+c,b+d)\in A\times A. Logo \top é fechada.
  • Associatividade: calcular ambos os lados de ((a,b)\top(c,d))\top(e,f) e (a,b)\top((c,d)\top(e,f)):
((a,b)\top(c,d))\top(e,f)=(a+c,\;b+d)\top(e,f)=(a+c+e,\;b+d+f),
(a,b)\top((c,d)\top(e,f))=(a,b)\top(c+e,\;d+f)=(a+c+e,\;b+d+f).
Os dois resultados coincidem, usando associatividade da soma em A. Logo \top é associativa.

Passo 4

Elemento neutro aditivo e inversos para \top; comutatividade da soma.
  • Elemento neutro: o candidato é (0,0) (onde cada 0 é o neutro aditivo de A). Verifica-se
(a,b)\top(0,0)=(a+0,\;b+0)=(a,b),
(0,0)\top(a,b)=(0+a,\;0+b)=(a,b).
Portanto (0,0) é o neutro aditivo de A\times A.
  • Inverso aditivo: o candidato para o inverso de (a,b) é (-a,-b) (onde -a e -b são os inversos aditivos em A). Verifica-se
(a,b)\top(-a,-b)=(a+(-a),\;b+(-b))=(0,0).
Assim todo elemento tem inverso aditivo.
  • Comutatividade: (a,b)\top(c,d)=(a+c,\;b+d)=(c+a,\;d+b)=(c,d)\top(a,b), usando comutatividade da soma em A. Logo (A\times A,\top) é um grupo abeliano.

Passo 5

Fechamento e associatividade do produto *.
  • Fechamento: para (a,b),(c,d)\in A\times A tem-se (a,b)*(c,d)=(a c,\;0). Como a c\in A e 0\in A, então (a c,0)\in A\times A. Logo * é fechada.
  • Associatividade: verificar ((a,b)*(c,d))*(e,f) e (a,b)*((c,d)*(e,f)):
((a,b)*(c,d))*(e,f)=(a c,\;0)*(e,f)=((a c)e,\;0)=(a c e,\;0).
(a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(c e,\;0)=(a(c e),\;0)=(a c e,\;0).
Como a multiplicação em A é associativa, a(c e)=(a c)e, então os dois lados são iguais. Logo * é associativa.

Passo 6

Elemento neutro multiplicativo (observação).
Procurar e=(u,v)\in A\times A tal que (a,b)*(u,v)=(a,b) para todo (a,b). Mas
(a,b)*(u,v)=(a u,\;0).
Para isso ser igual a (a,b) para todo a,b seria necessário a u=a para todo a (ou seja u deveria ser unidade multiplicativa de A) e simultaneamente 0=b para todo b, o que é impossível salvo caso trivial. Portanto, em geral, A\times A não tem unidade multiplicativa global com essa operação, a menos que se imponha condições adicionais sobre A e sobre os segundos componentes. Isso não impede ser anel (pois a definição usada aqui não exige necessariamente unidade multiplicativa).

Passo 7

Distributividade (esquerda e direita) de * sobre \top.
  • Distributividade à esquerda: calcular (a,b)*\big((c,d)\top(e,f)\big) e comparar com (a,b)*(c,d)\top(a,b)*(e,f).
    Primeiro
(c,d)\top(e,f)=(c+e,\;d+f),
então
(a,b)*\big((c,d)\top(e,f)\big)=(a,b)*(c+e,\;d+f)=(a(c+e),\;0).
Agora
(a,b)*(c,d)=(a c,\;0),\qquad (a,b)*(e,f)=(a e,\;0),
e
(a c,\;0)\top(a e,\;0)=(a c+a e,\;0+0)=(a c+a e,\;0).
Usando distributividade em A obtemos a(c+e)=a c+a e, então os dois resultados coincidem:
(a,b)*\big((c,d)\top(e,f)\big)=(a,b)*(c,d)\top(a,b)*(e,f).
  • Distributividade à direita: calcular \big((a,b)\top(c,d)\big)*(e,f) e comparar com (a,b)*(e,f)\top(c,d)*(e,f).
    Primeiro
(a,b)\top(c,d)=(a+c,\;b+d),
então
\big((a,b)\top(c,d)\big)*(e,f)=(a+c,\;b+d)*(e,f)=((a+c)e,\;0).
Por outro lado
(a,b)*(e,f)=(a e,\;0),\qquad (c,d)*(e,f)=(c e,\;0),
e
(a e,\;0)\top(c e,\;0)=(a e+c e,\;0).
Usando distributividade em A, (a+c)e=a e+c e, logo os dois lados coincidem. Portanto * distribui sobre \top à esquerda e à direita.

Passo 8

Resumo das verificações e observações finais (didática curta).
Reunindo: (A\times A,\top) é um grupo abeliano com neutro (0,0) e inverso (-a,-b); o produto * é fechado e associativo; * é distributivo sobre \top dos dois lados. Essas propriedades são exatamente as exigidas para que A\times A seja um anel (na concepção usual que não exige unidade multiplicativa). Observação: a existência de unidade multiplicativa em A\times A não ocorre em geral com essa definição de *.

Resposta

A\times A, com (a,b)\top(c,d)=(a+c,\;b+d) e (a,b)*(c,d)=(a c,\;0), é um anel.

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