Seja
um anel. Em
estäo definidas as duas operações seguintes:
Prove que
é um anel.
Passo 1
O enunciado dá o anel
(portanto todos os elementos que eu mencionar pertencem a
) e define em
as operações:
O que se pede: provar que
, com essas operações
e
, é um anel.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é um anel (logo as operações e em satisfazem as propriedades usuais: associatividade, existência de elemento neutro aditivo , inversos aditivos, comutatividade da soma, associatividade do produto, e distributividade). - As operações em
são definidas componente a componente para e por . - A tarefa é verificar todas as propriedades necessárias para que
componha um anel (ou seja: é um grupo abeliano, é fechada e associativa, e distribui sobre à esquerda e à direita).
Passo 2
Verificação de notação e hipóteses iniciais (explicando variáveis).
Tomar quaisquer elementos , isto é,
. Sempre que eu escrever
ou
em coordenadas, refiro-me ao
aditivo e ao inverso aditivo de
.
Tomar quaisquer elementos
Passo 3
Fechamento e associatividade da soma
.
- Fechamento: para
tem-se . Como e (fechamento da adição em ), resulta que . Logo é fechada. - Associatividade: calcular ambos os lados de
e :
Os dois resultados coincidem, usando associatividade da soma em
. Logo
é associativa.
Passo 4
Elemento neutro aditivo e inversos para
; comutatividade da soma.
- Elemento neutro: o candidato é
(onde cada é o neutro aditivo de ). Verifica-se
Portanto
é o neutro aditivo de
.
- Inverso aditivo: o candidato para o inverso de
é (onde e são os inversos aditivos em ). Verifica-se
Assim todo elemento tem inverso aditivo.
- Comutatividade:
, usando comutatividade da soma em . Logo é um grupo abeliano.
Passo 5
Fechamento e associatividade do produto
.
- Fechamento: para
tem-se . Como e , então . Logo é fechada. - Associatividade: verificar
e :
Como a multiplicação em
é associativa,
, então os dois lados são iguais. Logo
é associativa.
Passo 6
Elemento neutro multiplicativo (observação).
Procurar tal que
para todo
. Mas
Procurar
Para isso ser igual a
para todo
seria necessário
para todo
(ou seja
deveria ser unidade multiplicativa de
) e simultaneamente
para todo
, o que é impossível salvo caso trivial. Portanto, em geral,
não tem unidade multiplicativa global com essa operação, a menos que se imponha condições adicionais sobre
e sobre os segundos componentes. Isso não impede ser anel (pois a definição usada aqui não exige necessariamente unidade multiplicativa).
Passo 7
Distributividade (esquerda e direita) de
sobre
.
- Distributividade à esquerda: calcular
e comparar com .
Primeiro
então
Agora
e
Usando distributividade em
obtemos
, então os dois resultados coincidem:
- Distributividade à direita: calcular
e comparar com .
Primeiro
então
Por outro lado
e
Usando distributividade em
,
, logo os dois lados coincidem. Portanto
distribui sobre
à esquerda e à direita.
Passo 8
Resumo das verificações e observações finais (didática curta).
Reunindo: é um grupo abeliano com neutro
e inverso
; o produto
é fechado e associativo;
é distributivo sobre
dos dois lados. Essas propriedades são exatamente as exigidas para que
seja um anel (na concepção usual que não exige unidade multiplicativa). Observação: a existência de unidade multiplicativa em
não ocorre em geral com essa definição de
.
Reunindo: