Tendo \hat{\mathbf{q}}_{1} como um vetor unitário na direção crescente de q_{1}, mostre que
(b) \boldsymbol{\nabla} \times \hat{\mathbf{q}}_{1}=\frac{1}{h_{1}}\left[\hat{\mathbf{q}}_{2} \frac{1}{h_{3}} \frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}}-\hat{\mathbf{q}}_{3} \frac{1}{h_{2}} \frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}\right].
Note que, mesmo que \hat{\mathbf{q}}_{1} seja um vetor unitário, sua divergência e rotacional não desaparecem necessariamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional de \hat{\mathbf{q}}_{1} em coordenadas ortogonais curvilíneas com fatores de escala h_{1},h_{2},h_{3}. O que vamos usar é a fórmula geral do rotacional em tais coordenadas, além de identificar as componentes de \hat{\mathbf{q}}_{1}.

Passo 2

Em coordenadas ortogonais curvilíneas, para um campo vetorial \mathbf{A}=A_{1}\,\hat{\mathbf{q}}_{1}+A_{2}\,\hat{\mathbf{q}}_{2}+A_{3}\,\hat{\mathbf{q}}_{3}, o rotacional tem componentes dadas por
(\nabla\times \mathbf{A})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{2}}\bigl(A_{3}\,h_{3}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{3}}\bigl(A_{2}\,h_{2}\bigr) \Bigr],
(\nabla\times \mathbf{A})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{3}}\bigl(A_{1}\,h_{1}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(A_{3}\,h_{3}\bigr) \Bigr],
(\nabla\times \mathbf{A})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(A_{2}\,h_{2}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{2}}\bigl(A_{1}\,h_{1}\bigr) \Bigr].

Passo 3

Para \mathbf{A}=\hat{\mathbf{q}}_{1} temos
A_{1}=1, \quad A_{2}=0, \quad A_{3}=0.

Passo 4

Substituindo em cada componente:
(\nabla\times \hat{\mathbf{q}}_{1})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{2}}(0) -\frac{\partial}{\partial q_{3}}(0) \Bigr] =0,
(\nabla\times \hat{\mathbf{q}}_{1})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{3}}(1\cdot h_{1}) -\frac{\partial}{\partial q_{1}}(0) \Bigr] =\frac{1}{h_{1}h_{3}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}},
(\nabla\times \hat{\mathbf{q}}_{1})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{1}}(0) -\frac{\partial}{\partial q_{2}}(1\cdot h_{1}) \Bigr] =-\frac{1}{h_{1}h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}.

Passo 5

Juntando as componentes no vetor:
\nabla\times \hat{\mathbf{q}}_{1} =\hat{\mathbf{q}}_{1}\,0 +\hat{\mathbf{q}}_{2}\,\frac{1}{h_{1}h_{3}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}} +\hat{\mathbf{q}}_{3}\,\Bigl(-\frac{1}{h_{1}h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}\Bigr).
Fatorando 1/h_{1}:
\nabla\times \hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}}\Bigl[ \hat{\mathbf{q}}_{2}\,\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}} -\hat{\mathbf{q}}_{3}\,\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}} \Bigr].

Resposta

\nabla\times \hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}}\Bigl[ \hat{\mathbf{q}}_{2}\,\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}} -\hat{\mathbf{q}}_{3}\,\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}} \Bigr].

Exercícios relacionados