Mostre que os vetores v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(-1,0,1) e v_{3}=(0,1,0) são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
v_{1}=(1,0,1),\quad v_{2}=(-1,0,1),\quad v_{3}=(0,1,0)
em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes. Isso significa que, na definição de independência linear, só a combinação trivial deve produzir o vetor zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} + \gamma\,v_{3} = (0,0,0).
Em coordenadas,
\alpha\,(1,0,1) + \beta\,(-1,0,1) + \gamma\,(0,1,0) = (0,0,0).

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta = 0,\\\ \gamma = 0,\\\ \alpha + \beta = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação segue \gamma=0.
  • Da primeira equação segue \alpha=\beta.
  • Substituindo em \alpha+\beta=0 vem 2\alpha=0, logo \alpha=0 e, por consequência, \beta=0.

Passo 5

Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, a combinação trivial é a única que anula \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}. Portanto, pelos critérios de definição, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores v_{1}, v_{2} e v_{3} são linearmente independentes.

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