Mostre que os vetores \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(1,1,0) e \vec{w}=(1,1,1) são linearmente independentes (LI). Justifique sua resposta utilizando o determinante da matriz formada por esses vetores.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(1,1,0) e \vec{w}=(1,1,1) são linearmente independentes. Foi solicitado justificar a resposta utilizando o determinante da matriz formada por esses vetores.
Informações dadas:
\vec{u}=(1,0,0).
\vec{v}=(1,1,0).
\vec{w}=(1,1,1).
O que se quer: provar que nenhuma combinação linear não trivial desses vetores produz o vetor nulo, e justificar essa independência mostrando que o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar (devagar e com calma).
Dizemos que três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Aqui \alpha,\beta,\gamma são escalares reais desconhecidos.
Se colocarmos esses vetores como colunas de uma matriz A de ordem 3\times3, a equação acima fica na forma matricial
Uma propriedade importante (que usaremos): se \det(A)\neq 0, então A é invertível e o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Assim \det(A)\neq 0 implica que as colunas de A são linearmente independentes.]
Passo 3
Formar explicitamente a matriz A usando os vetores como colunas. Coluna 1 = \vec{u}, coluna 2 = \vec{v}, coluna 3 = \vec{w}. Portanto
Observe que escrevi cada vetor como coluna, em ordem: primeira coluna (1,0,0)^T, segunda coluna (1,1,0)^T, terceira coluna (1,1,1)^T.]
Passo 4
Calcular o determinante de A.
Nota prática: A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Os elementos da diagonal de A são 1,1,1. Logo
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1.
(Se preferir, pode-se também expandir por Laplace ou usar operações elementares e obter o mesmo resultado; o fato importante é que \det(A)=1.)
Passo 5
Interpretação do resultado e conclusão final.
Encontramos \det(A)=1. Como 1\neq 0, a matriz A é invertível.
Pelo argumento do Passo 2, o sistema homogêneo A(\alpha,\beta,\gamma)^T=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.
Portanto as colunas de A, que são exatamente \vec{u},\vec{v},\vec{w}, são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes, pois a matriz A=\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]0&1&1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} tem \det(A)=1\neq 0.]