1. Dados os vetores \vec{u}=(2,1,-3) e \vec{v}=(1,2,1), determine o vetor projeção de \vec{u} sobre \vec{v} \left(\right. proj \left._{\vec{v}} \vec{u}\right).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,1,-3) e \vec{v}=(1,2,1) e pede o vetor projeção de \vec{u} sobre \vec{v}, isto é \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}. Vou listar claramente as informações:
  • Vetor \vec{u} = (2,1,-3).
  • Vetor \vec{v} = (1,2,1).
    A pergunta é: qual é \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}?

Passo 2

Explicando o que é projeção e a fórmula que vamos usar. A projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é o vetor em direção a \vec{v} que representa a componente de \vec{u} ao longo de \vec{v}. A fórmula padrão é:
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Aqui:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}.
  • \vec{v}\cdot\vec{v} é o produto escalar de \vec{v} consigo mesmo (igual ao quadrado da norma de \vec{v}).
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um número escalar que alonga/encolhe \vec{v} para obter a projeção.
Vou explicar também como calcular produto escalar: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v} usando definição do produto escalar e os componentes que foram dados:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot 1 + 1\cdot 2 + (-3)\cdot 1.
Agora as multiplicações e soma passo a passo:
2\cdot 1 = 2,\qquad 1\cdot 2 = 2,\qquad (-3)\cdot 1 = -3.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 + 2 + (-3) = 1.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{v}, que é a soma dos quadrados das componentes de \vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v} = 1^2 + 2^2 + 1^2.
Computando:
1^2 = 1,\qquad 2^2 = 4,\qquad 1^2 = 1,
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\vec{v}\cdot\vec{v} = 1 + 4 + 1 = 6.

Passo 5

Agora montamos o escalar multiplicador da fórmula:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \frac{1}{6}.
Multiplicamos esse escalar pelo vetor \vec{v}=(1,2,1):
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{1}{6}\,(1,2,1).

Passo 6

Multiplicando componente a componente e simplificando frações:
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left(\frac{1}{6}\cdot 1,\\ \frac{1}{6}\cdot 2,\\ \frac{1}{6}\cdot 1\right) = \left(\frac{1}{6},\\ \frac{2}{6},\\ \frac{1}{6}\right).
Simplificando \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}, obtemos:
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left(\frac{1}{6},\\ \frac{1}{3},\\ \frac{1}{6}\right).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para fixar a ideia): a diferença \vec{u}-\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} deve ser ortogonal a \vec{v}. Calculemos o produto escalar para checar:
\vec{u}-\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \left(2-\frac{1}{6},\\\ 1-\frac{1}{3},\\\ -3-\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{11}{6},\\ \frac{2}{3},\\\ -\frac{19}{6}\right).
Agora o produto escalar com \vec{v}:
\left(\frac{11}{6},\\ \frac{2}{3},\\\ -\frac{19}{6}\right)\cdot(1,2,1) = \frac{11}{6} + 2\cdot\frac{2}{3} + \left(-\frac{19}{6}\right).
Calculemos:
2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3} = \frac{8}{6},
então
\frac{11}{6} + \frac{8}{6} - \frac{19}{6} = \frac{11+8-19}{6} = \frac{0}{6} = 0.
Como o produto escalar é zero, a verificação confirma que a projeção está correta.

Resposta

\left(\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6}\right)

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