- Dados os vetores
e
, determine o vetor projeção de
sobre
proj
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede o vetor projeção de
sobre
, isto é
. Vou listar claramente as informações:
- Vetor
. - Vetor
.
A pergunta é: qual é?
Passo 2
Explicando o que é projeção e a fórmula que vamos usar. A projeção de
sobre
é o vetor em direção a
que representa a componente de
ao longo de
. A fórmula padrão é:
Aqui:
-
é o produto escalar entre e . -
é o produto escalar de consigo mesmo (igual ao quadrado da norma de ). - O quociente
é um número escalar que alonga/encolhe para obter a projeção.
Vou explicar também como calcular produto escalar: para
e
,
Passo 3
Calcular
usando definição do produto escalar e os componentes que foram dados:
Agora as multiplicações e soma passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular
, que é a soma dos quadrados das componentes de
:
Computando:
logo
Passo 5
Agora montamos o escalar multiplicador da fórmula:
Multiplicamos esse escalar pelo vetor
:
Passo 6
Multiplicando componente a componente e simplificando frações:
Simplificando
, obtemos:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para fixar a ideia): a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculemos o produto escalar para checar:
Agora o produto escalar com
:
Calculemos:
então
Como o produto escalar é zero, a verificação confirma que a projeção está correta.