Mostre que A x^{2}+B y^{2}=1 é uma solução da equação diferencial x\left[y \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^{2}\right]-y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva implícita
A x^{2}+B y^{2}=1
satisfaz a equação diferencial
x\Bigl[y\,\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\Bigl(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Bigr)^{2}\Bigr]-y\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.
O conteúdo principal é diferenciação implícita até a segunda derivada.

Passo 2

Diferenciando implicitamente A x^{2}+B y^{2}=1 em relação a x, temos
2A x + 2B\,y\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0
e daí
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y'=-\frac{A\,x}{B\,y}.

Passo 3

Para obter y'', derivamos y'=-\tfrac{A}{B}\,\tfrac{x}{y}. Usando a regra do quociente ou produto, escreva
y'=-\frac{A}{B}\,x\,y^{-1}
e depois
y''=-\frac{A}{B}\Bigl(1\cdot y^{-1}+x\cdot(-1)\,y^{-2}\,y'\Bigr) =-\frac{A}{B}\Bigl(\frac{1}{y}-\frac{x\,y'}{y^{2}}\Bigr).
Substituindo y'=-\tfrac{A x}{B y} obtemos
y''=-\frac{A}{B\,y}-\frac{A^{2}x^{2}}{B^{2}y^{3}}.

Passo 4

Calcule o termo interno da ODE:
y\,y''+(y')^{2} =y\Bigl(-\frac{A}{B\,y}-\frac{A^{2}x^{2}}{B^{2}y^{3}}\Bigr) +\Bigl(-\frac{A\,x}{B\,y}\Bigr)^{2} =-\frac{A}{B}-\frac{A^{2}x^{2}}{B^{2}y^{2}} +\frac{A^{2}x^{2}}{B^{2}y^{2}} =-\frac{A}{B}.

Passo 5

Substituindo em
x\Bigl[y\,y''+(y')^{2}\Bigr]-y\,y'
vem
x\Bigl(-\frac{A}{B}\Bigr)\;-\;y\Bigl(-\frac{A\,x}{B\,y}\Bigr) =-\frac{A\,x}{B}+\frac{A\,x}{B}=0,
ou seja, a equação diferencial é satisfeita.

Resposta

A curva A x^{2}+B y^{2}=1 satisfaz a equação diferencial dada.

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