Mostre que v=B+\frac{A}{r} é uma solução da equação diferencial \frac{\mathrm{d}^{2} v}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} r}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
v(r)=B+\frac{A}{r}
satisfaz a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}r^{2}}+\frac{2}{r}\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=0.
Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de v(r) em relação a r.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de v(r). Como
v(r)=B+\frac{A}{r},
temos
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(B\Bigr) +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(\tfrac{A}{r}\Bigr) =0 -\;A\,\frac{1}{r^{2}} =-\frac{A}{r^{2}}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada de v(r). Partindo de
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=-\frac{A}{r^{2}},
derivamos de novo em relação a r:
\frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}r^{2}} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(-\frac{A}{r^{2}}\Bigr) =-A\cdot\bigl(-2\bigr)\frac{1}{r^{3}} =\frac{2A}{r^{3}}.

Passo 4

Substituir \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} e \frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}r^{2}} na equação diferencial:
\frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}r^{2}} +\frac{2}{r}\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} =\frac{2A}{r^{3}} +\frac{2}{r}\,\Bigl(-\frac{A}{r^{2}}\Bigr) =\frac{2A}{r^{3}}-\frac{2A}{r^{3}} =0.
Isso mostra que v(r)=B+\frac{A}{r} satisfaz a equação dada.

Resposta

A função v(r)=B+\frac{A}{r} é de fato solução de
\frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}r^{2}}+\frac{2}{r}\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=0.

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