Mostre que se
são variáveis aleatórias iid
e
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Temos
variáveis aleatórias . - Cada
tem distribuição exponencial com parâmetro . Ou seja, para cada sabemos que . - As variáveis são independentes (assumo independência, já que o enunciado usa a notação com índices
). - Foi definida a variável
. - O que nos pedem: mostrar que
tem distribuição exponencial com parâmetro . Em símbolos, provar que .
Passo 2
Relembre comigo a forma básica da distribuição exponencial — isso é útil porque vamos usar propriedades dela direto.
- Uma variável aleatória
com distribuição exponencial de parâmetro tem função densidade de probabilidade (pdf)
e função de distribuição acumulada (CDF)
- A função de sobrevivência (probabilidade de exceder
) é
Essa expressão é muito prática para mínimos, porque para o mínimo nós tipicamente calculamos a probabilidade de que nenhum valor seja menor que um certo
— isto é, que todos excedam
.
Passo 3
Vamos escrever a CDF de
. A definição é
Mas é mais simples calcular a sobrevivência de
:
Interpretando isso: o mínimo ser maior que
significa que todos os
são maiores que
. Logo
Passo 4
Agora usamos independência das
. Para variáveis independentes, a probabilidade do evento conjunto é o produto das probabilidades marginais. Assim
Pelo que vimos no Passo 2, cada
(para
). Então
Passo 5
Calcule o produto de expoentes. Produto de exponenciais com a mesma base é exponencial da soma dos expoentes:
Portanto, para
,
Passo 6
A partir da sobrevivência obtemos a CDF de
:
Compare isso com a CDF de uma exponencial de parâmetro
:
É exatamente a mesma forma, com
. Logo
tem distribuição exponencial com parâmetro
.
Passo 7
Opcionalmente, derivamos a densidade para ficar completo: derivando a CDF em
(para
) obtemos
que é a pdf da
. Assim confirmamos a distribuição também pelo pdf.
Passo 8
Um comentário prático e motivador: isso significa que o mínimo de várias durações exponenciais independentes é mais “rápido” — o parâmetro da exponencial do mínimo é a soma dos parâmetros. Em provas, a técnica padrão é sempre tentar escrever
e usar independência para transformar em produto de sobrevivências; é um truque que aparece muito.