Mostre que se X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} são variáveis aleatórias iid \exp \left(\lambda_{i}\right) e Y=\min X_{i}, então Y \sim \exp \left(\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Temos n variáveis aleatórias X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}.
  • Cada X_{i} tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda_{i}. Ou seja, para cada i sabemos que X_{i}\sim\exp(\lambda_{i}).
  • As variáveis são independentes (assumo independência, já que o enunciado usa a notação com índices \lambda_{i}).
  • Foi definida a variável Y=\min\{X_{1},X_{2},\dots,X_{n}\}.
  • O que nos pedem: mostrar que Y tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}. Em símbolos, provar que Y\sim\exp\big(\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}\big).

Passo 2

Relembre comigo a forma básica da distribuição exponencial — isso é útil porque vamos usar propriedades dela direto.
  • Uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro \lambda>0 tem função densidade de probabilidade (pdf)
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0,
e função de distribuição acumulada (CDF)
F_X(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge 0.
  • A função de sobrevivência (probabilidade de exceder x) é
P(X>x)=1-F_X(x)=e^{-\lambda x},\quad x\ge 0.
Essa expressão é muito prática para mínimos, porque para o mínimo nós tipicamente calculamos a probabilidade de que nenhum valor seja menor que um certo y — isto é, que todos excedam y.

Passo 3

Vamos escrever a CDF de Y. A definição é
F_Y(y)=P(Y\le y).
Mas é mais simples calcular a sobrevivência de Y:
P(Y>y)=P\big(\min_i X_i > y\big).
Interpretando isso: o mínimo ser maior que y significa que todos os X_i são maiores que y. Logo
P(Y>y)=P(X_1>y,\;X_2>y,\;\ldots,\;X_n>y).

Passo 4

Agora usamos independência das X_i. Para variáveis independentes, a probabilidade do evento conjunto é o produto das probabilidades marginais. Assim
P(Y>y)=\prod_{i=1}^{n} P(X_i>y).
Pelo que vimos no Passo 2, cada P(X_i>y)=e^{-\lambda_i y} (para y\ge 0). Então
P(Y>y)=\prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda_i y}.

Passo 5

Calcule o produto de expoentes. Produto de exponenciais com a mesma base é exponencial da soma dos expoentes:
\prod_{i=1}^{n} e^{-\lambda_i y}=e^{-\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right) y}.
Portanto, para y\ge 0,
P(Y>y)=e^{-\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right) y}.

Passo 6

A partir da sobrevivência obtemos a CDF de Y:
F_Y(y)=P(Y\le y)=1-P(Y>y)=1-e^{-\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right) y},\quad y\ge 0.
Compare isso com a CDF de uma exponencial de parâmetro \Lambda=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i:
F(y)=1-e^{-\Lambda y},\quad y\ge0.
É exatamente a mesma forma, com \Lambda=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i. Logo Y tem distribuição exponencial com parâmetro \Lambda.

Passo 7

Opcionalmente, derivamos a densidade para ficar completo: derivando a CDF em y (para y>0) obtemos
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right) e^{-\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right) y},\quad y\ge 0,
que é a pdf da \exp\big(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\big). Assim confirmamos a distribuição também pelo pdf.

Passo 8

Um comentário prático e motivador: isso significa que o mínimo de várias durações exponenciais independentes é mais “rápido” — o parâmetro da exponencial do mínimo é a soma dos parâmetros. Em provas, a técnica padrão é sempre tentar escrever P(Y>y) e usar independência para transformar em produto de sobrevivências; é um truque que aparece muito.

Resposta

Y\sim\exp\!\big(\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}\big)

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