Sejam X e Y variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \lambda^{2} e^{-\lambda y}, 0 \leq x \leq y \\\\ 0, \text { c.c. } \end{array}\right.
Calcule f(y \mid x). Reconhece essa distribuição?

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=\begin{cases} \lambda^{2} e^{-\lambda y}, & 0\le x\le y,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede duas coisas: (1) calcular a densidade condicional f(y\mid x) e (2) dizer se essa distribuição condicional é reconhecível (ou seja, que distribuição é essa).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A constante \lambda é o parâmetro positivo da exponencial (assumimos \lambda>0).
  • O suporte da densidade conjunta é a região \{(x,y):0\le x\le y<\infty\}.
  • Queremos a densidade de Y condicionado a um valor fixo de X=x.]

Passo 2

Lembra da fórmula básica de densidade condicional para variáveis contínuas: para f_X(x)>0,
f(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)},
onde f_X(x) é a densidade marginal de X obtida integrando a densidade conjunta em y:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy.
Vou aplicar exatamente isso: primeiro calculo f_X(x), depois divido f(x,y) por f_X(x).

Passo 3

Calcular f_X(x). Como a densidade conjunta é não nula só para y\ge x (e x\ge0), temos, para x\ge0,
f_X(x)=\int_{y=x}^{\infty} \lambda^{2} e^{-\lambda y}\,dy.
Agora avaliamos essa integral. A primitiva de e^{-\lambda y} é -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}. Então
\int_{y=x}^{\infty} \lambda^{2} e^{-\lambda y}\,dy = \lambda^{2}\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda y}\right]_{y=x}^{y=\infty}.
Ao avaliar nos limites: quando y\to\infty temos e^{-\lambda y}\to0; em y=x fica e^{-\lambda x}. Assim
f_X(x)=\lambda^{2}\left(0 - \left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right)\right) = \lambda^{2}\cdot\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} = \lambda e^{-\lambda x},
para x\ge0. Fora de x\ge0, f_X(x)=0. Observação: isso é a densidade de uma exponencial com parâmetro \lambda, mas não precisa usar isso ainda — só é o valor de f_X(x).

Passo 4

Agora aplico a fórmula condicional. Para x\ge0 e y\ge x,
f(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{\lambda^{2} e^{-\lambda y}}{\lambda e^{-\lambda x}}.
Simplificando fator a fator: \lambda^{2}/\lambda=\lambda e e^{-\lambda y}/e^{-\lambda x}=e^{-\lambda(y-x)}. Logo
f(y\mid x)=\lambda e^{-\lambda (y-x)},\qquad y\ge x.
E para y<x (ou se x<0) a densidade condicional vale 0, porque a densidade conjunta é zero fora da região y\ge x.

Passo 5

Vamos interpretar e checar que isso é uma densidade válida em y (para y\ge x). Quero ver que integra para 1:
\int_{y=x}^{\infty} \lambda e^{-\lambda (y-x)}\,dy.
Faço a mudança u=y-x. Quando y=x temos u=0; quando y\to\infty temos u\to\infty. A integral vira
\int_{u=0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda u}\,du = 1,
porque é a integral de uma exponencial padrão com parâmetro \lambda. Assim está normalizada corretamente.

Passo 6

Reconhecimento da distribuição. A forma
f(y\mid x)=\lambda e^{-\lambda (y-x)},\qquad y\ge x,
é exatamente a densidade de uma exponencial com parâmetro \lambda começando em x. Em termos mais diretos, a variável aleatória Y condicionada a X=x pode ser escrita como
Y\mid X=x \stackrel{d}{=} x + Z,
onde Z tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda (isto é, Z\sim\mathrm{Exp}(\lambda)). Outra maneira curta de dizer: Y-X\mid X=x \sim \mathrm{Exp}(\lambda). Isso também reflete a propriedade de falta de memória da exponencial: condicionar em X desloca o ponto inicial.

Resposta

f(y\mid x)=\lambda e^{-\lambda (y-x)},\quad y\ge x \
Y\mid X=x tem distribuição igual a x+\mathrm{Exp}(\lambda) (ou seja, Y-X\mid X=x\sim\mathrm{Exp}(\lambda)).

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