e pede duas coisas: (1) calcular a densidade condicional f(y\mid x) e (2) dizer se essa distribuição condicional é reconhecível (ou seja, que distribuição é essa).\n
Informações relevantes fornecidas:
A constante \lambda é o parâmetro positivo da exponencial (assumimos \lambda>0).
O suporte da densidade conjunta é a região \{(x,y):0\le x\le y<\infty\}.
Queremos a densidade de Y condicionado a um valor fixo de X=x.]
Passo 2
Lembra da fórmula básica de densidade condicional para variáveis contínuas: para f_X(x)>0,
f(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)},
onde f_X(x) é a densidade marginal de X obtida integrando a densidade conjunta em y:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy.
Vou aplicar exatamente isso: primeiro calculo f_X(x), depois divido f(x,y) por f_X(x).
Passo 3
Calcular f_X(x). Como a densidade conjunta é não nula só para y\ge x (e x\ge0), temos, para x\ge0,
para x\ge0. Fora de x\ge0, f_X(x)=0. Observação: isso é a densidade de uma exponencial com parâmetro \lambda, mas não precisa usar isso ainda — só é o valor de f_X(x).
Passo 4
Agora aplico a fórmula condicional. Para x\ge0 e y\ge x,
é exatamente a densidade de uma exponencial com parâmetro \lambda começando em x. Em termos mais diretos, a variável aleatória Y condicionada a X=x pode ser escrita como
Y\mid X=x \stackrel{d}{=} x + Z,
onde Z tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda (isto é, Z\sim\mathrm{Exp}(\lambda)). Outra maneira curta de dizer: Y-X\mid X=x \sim \mathrm{Exp}(\lambda). Isso também reflete a propriedade de falta de memória da exponencial: condicionar em X desloca o ponto inicial.
Resposta
f(y\mid x)=\lambda e^{-\lambda (y-x)},\quad y\ge x \ Y\mid X=x tem distribuição igual a x+\mathrm{Exp}(\lambda) (ou seja, Y-X\mid X=x\sim\mathrm{Exp}(\lambda)).