Mostre que se x<x^{\prime} e y<y^{\prime}, então x+y<x^{\prime}+y^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados números reais ​ x,x',y,y' tais que ​ x<x' e ​ y<y', então vale ​ x+y<x'+y'. O conteúdo envolvido são as propriedades de ordem dos reais, em especial a monotonicidade da adição (isto é, somar um mesmo termo aos dois lados de uma desigualdade preserva o sentido) e a transitividade da relação “<”.

Passo 2

Como ​ x<x', podemos somar ​ y a ambos os lados, obtendo
x + y < x' + y.

Passo 3

Como ​ y<y', podemos somar ​ x' a ambos os lados, obtendo
x' + y < x' + y'.

Passo 4

Pela transitividade da desigualdade (se ​ A<B e ​ B<C, então ​ A<C), concluímos
x + y < x' + y'.

Resposta

x + y < x' + y'

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